[論文レビュー] Detecting independence of random vectors II. Distance multivariance and Gaussian multivariance

Björn Böttcher, Martin Keller‐Ressel+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$ n \geq 2 $ 個の確率的ベクトルに対して、特徴関数の重み付き $ L^2 $-距離を用いた連続的負定値関数に基づく距離行列を用いて、距離共分散を多次元設定に拡張することで、距離マルチバリアンスおよび総距離マルチバリアンスという新たな依存度測度を導入する。主な貢献は、連続的負定値関数から導かれる距離行列に基づく、複数の確率的ベクトルの独立性を一貫的かつ有限標本で検定する手法である。

ABSTRACT

We introduce two new measures for the dependence of $n \ge 2$ random variables: `distance multivariance' and `total distance multivariance'. Both measures are based on the weighted $L^2$-distance of quantities related to the characteristic functions of the underlying random variables. They extend distance covariance (introduced by Szekely, Rizzo and Bakirov) and generalized distance covariance (introduced in part I) from pairs of random variables to $n$-tuplets of random variables. We show that total distance multivariance can be used to detect the independence of $n$ random variables and has a simple finite-sample representation in terms of distance matrices of the sample points, where distance is measured by a continuous negative definite function. Based on our theoretical results, we present a test for independence of multiple random vectors which is consistent against all alternatives.

研究の動機と目的

• 2つの確率的変数の距離共分散を $ n $-組の確率的ベクトルへ拡張すること。
• $ n \geq 2 $ 個の確率的ベクトルの独立性を検出する一貫した統計的検定を開発すること。
• 連続的負定値関数から導かれる距離行列を用いて、依存度測度の有限標本表現を提供すること。
• 重み付き $ L^2 $-距離を用いた特徴関数関連量を多次元依存度検出に用いる理論的基盤を確立すること。

提案手法

• $ n $ 個の確率的ベクトルの同時分布と周辺分布の積の特徴関数に基づく変換の間の重み付き $ L^2 $-距離として距離マルチバリアンスを定義する。
• $ n $-組のすべての部分集合における距離マルチバリアンスの和として総距離マルチバリアンスを導入し、全体の依存構造を捉える。
• 連続的負定値関数を用いて標本点間の距離尺度を定義し、距離行列による有限標本計算を可能にする。
• 総距離マルチバリアンスに基づく検定統計量を構築し、独立性のもとで0に収束し、依存性のもとで0から離れるようにする。
• 測度が極限においてすべての依存形態を検出できることを示すことにより、すべての代替仮説に対して検定の一貫性を確立する。
• 標本点の距離行列を用いて、総距離マルチバリアンスの有限標本表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離共分散は、2組の確率的変数に限らず、$ n \geq 2 $ 個の確率的ベクトル間の依存性を検出するために一般化可能か？
• RQ2 総距離マルチバリアンスは、$ n $ 個の確率的ベクトルの独立性を一貫して検定できるか？
• RQ3 連続的負定値関数から導かれる距離行列を用いて、依存度測度を有限標本形式で表現できるか？
• RQ4 距離マルチバリアンスの理論的基盤は、特徴関数および $ L^2 $-距離の観点からどのように構築されるか？
• RQ5 提案手法の検出力は、既存の多次元独立性検定と比較してどのように異なるか？

主な発見

• 総距離マルチバリアンスは、$ n $ 個の確率的ベクトルの独立性を一貫した検定を提供し、いかなる依存構造に対しても帰無仮説を棄却する確率が1に近づく。
• 総距離マルチバリアンスの有限標本表現は、連続的負定値関数を距離尺度として用いた標本点の距離行列のみで表現可能である。
• 距離マルチバリアンスは、2つの確率的変数の一般化された距離共分散を $ n $-組へ拡張し、複雑な非線形依存性の検出を可能にする。
• この手法は、特徴関数変換の $ L^2 $-距離に基づく理論的基盤を有し、すべての形態の依存性に感度を示す。
• 提案された検定はすべての代替仮説に対して一貫しており、標本サイズが増加するにつれて、独立性からのいかなる逸脱も検出可能である。