[論文レビュー] Detecting multiple change-points in general causal time series using penalized quasi-likelihood

Jean‐Marc Bardet, William Kengne+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2010

Statistical Methods and Inference参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般の自己回帰的時系列（AR(∞)、ARCH(∞)、TARCH(∞)モデルを含む）における複数の変化点を検出するための罰則付き準最尤法を提案する。リプシッツ条件およびモーメントの順序 r ≥ 2 のもとで、推定子は一致性を示し、r ≥ 4 の場合、i.i.d.設定と同等の収束速度を達成する。これは、これらのモデルに対する既存手法を顕著に改善する。

ABSTRACT

This paper is devoted to the off-line multiple change-point detection in a semiparametric framework. The time series is supposed to belong to a large class of models including AR($\\infty$), ARCH($\\infty$), TARCH($\\infty$),... models where the coefficients change at each instant of breaks. The different unknown parameters (number of changes, change dates and parameters of successive models) are estimated using a penalized contrast built on conditional quasi-likelihood. Under Lipshitzian conditions on the model, the consistency of the estimator is proved when the moment order $r$ of the process satisfies $r\\geq 2$. If $r\\geq 4$, the same convergence rates for the estimators than in the case of independent random variables are obtained. The particular cases of AR($\\infty$), ARCH($\\infty$) and TARCH($\\infty$) show that our method notably improves the existing results.

研究の動機と目的

• 広範な因果的時系列モデルクラスにおける複数の変化点を一貫して検出するオフライン手法を開発すること。
• i.i.d.でない、従属的な時系列、特に無限次オーダーのモデル（AR(∞)、ARCH(∞)、TARCH(∞)）への変化点検出を拡張すること。
• 最小限のモーメントおよび正則性条件のもとで、変化点の数、その位置、モデルパラメータの理論的一致性と最適収束速度を確立すること。
• モーメントの順序 r ≥ 4 の場合、i.i.d.設定と同等の収束速度を達成することで、既存手法を改善すること。

提案手法

• 条件付き準最尤法に基づく罰則付きコントラストを用いて、変化点、モデルパラメータ、変化回数を推定する。
• 非正規のinnovationを想定する状況でも、GARCH型モデルにおける漸近的性質を活用して、準最大尤度推定子（QMLE）を用いて尤度を近似する。
• 推定子の正則性と安定性を保証するため、モデル関数 M および f にリプシッツ条件を課す。
• 過剰適合を避けるために、モデルの適合度と複雑さのバランスを取るため、罰則付き尤度基準を採用する。
• 真の変化点の周囲における推定子の漸近的挙動を分析するため、テイラー展開とマルティンゲール型の議論を用いる。
• 真のモデルパラメータのもとでスコア関数およびフィッシャー情報行列を分析することで、パラメータ推定子の一致性と漸近正規性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次依存性を有する因果的時系列の一般クラスにおいて、罰則付き準最尤法は一貫して複数の変化点を推定できるか？
• RQ2 モーメント条件 r ≥ 2 および r ≥ 4 のもとで、推定された変化点およびモデルパラメータの収束速度は何か？
• RQ3 モーメントの順序 r ≥ 4 の場合、この手法はi.i.d.設定と同等の収束速度を達成するか？
• RQ4 AR(∞)、ARCH(∞)、TARCH(∞)といった特定のモデルに対して、既存手法と比較してこの手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ5 どのような正則性およびモーメント条件のもとで、罰則付き準最尤推定子は一貫しており、漸近正規的となるか？

主な発見

• リプシッツ条件およびモーメントの順序 r ≥ 2 のもとで、罰則付き準最尤推定子は変化点の数、その位置、モデルパラメータに関して一貫性を示す。
• モーメントの順序が r ≥ 4 を満たす場合、推定子の収束速度はi.i.d.サンプリング時と同等となり、最適効率を達成する。
• AR(∞)、ARCH(∞)、TARCH(∞)モデルにおいて、本手法は既存の変化点検出技術と比較して、理論的および実用的性能が向上する。
• 中心極限定理の議論により、パラメータ推定子の漸近分布は、フィッシャー情報行列の逆行列とロングラン分散を含む分散・共分散行列をもつ正規分布であることが示された。
• 推定された変化点位置と真の位置との差は、確率的に oP(log n) の速度で 0 に収束し、正確な局所化が保証される。
• 本手法は、セグメント内での stationarity やセグメント間の独立性を仮定しないため、より現実的な時系列モデルに適用可能である。