[論文レビュー] Detecting the local indistinguishability of maximally entangled states

Sixia Yu, C. H. Oh|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 23被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、局所的プロトコルの非対称性とHSSH法を組み合わせることで、$d\otimes d$系における最大もつれ状態（MES）の局所的区別不能性を判定する計算可能な基準を提案する。$d \geq 4$ に対して、完全な $d$ 個の局所的区別不能なMESの集合を構成し、$d \geq 6$ で偶数の場合、$k = d-1$ 個のMESの集合が分離測定によって区別不能であることを示した。$d$ が大きくなる極限において、$k/d$ の比は $3/4$ に近づく。

ABSTRACT

By incorporating the asymmetry of local protocols, i.e., some party has to start with a nontrivial measurement, into an operational method of detecting the local indistinguishability proposed by Horodecki {\it et al.} [Phys.Rev.Lett. 90 047902 (2003)], we derive a computable criterion to efficiently detect the local indistinguishability of maximally entangled states. Locally indistinguishable sets of $d$ maximally entangled states in a $d\otimes d$ system are systematically constructed for all $d\ge 4$ as an application. Furthermore, by exploiting the fact that local protocols are necessarily separable, we explicitly construct small sets of $k$ locally indistinguishable maximally entangled states with the ratio $k/d$ approaching 3/4. In particular, in a $d\otimes d$ system with even $d\ge 6$, there always exist $d-1$ maximally entangled states that are locally indistinguishable by separable measurements.

研究の動機と目的

• 局所操作と古典的通信（LOCC）のみを用いて、正規直交最大もつれ状態の集合が正確に区別可能かどうかを判定するという根本的課題に取り組む。
• すべての可能なLOCCプロトコルを除外しなければならない局所的区別不能性の証明の難しさを、LOCCの構造的性質（非対称性と分離可能性）を活用することで克服する。
• すべての $d \geq 4$ に対して、$d\otimes d$ 系における局所的区別不能な $d$ 個の最大もつれ状態の明示的かつ完全な集合を構成し、長年の未解決問題を解決する。
• 系の次元 $d$ に対して、局所的区別不能な集合のサイズを最小化し、$d \geq 6$ で偶数の場合、$k/d$ の比が $3/4$ に近づくようにする。

提案手法

• LOCCプロトコルの非対称性（片方が非自明な測定を最初に行う必要があること）とHSSHもつれ変換技術を組み合わせた「非対称HSSH法」を導入し、局所的区別不能性の計算可能な基準を導出する。
• LOCCプロトコルが必ず分離可能であることを利用し、もつれ検出のための正の写像を構築することで、分離測定による区別不能性を証明する。
• 系を $d$ の最大の真の約数 $q$ に基づく合成クオディット部分系に分解し、$L_V$ を $2p$ 水準部分系上で定義されたユニタリ演算子 $U = Z_q^n \otimes L_V$ を用いて区別不能な集合を構成する。
• 測定演算子のトレースに関する矛盾を導出することで証明する。具体的には、$\sum_U \text{Tr}(M_U (H_{2d} - \psi_U)) > 0$ を示し、$H_{2d} = P_q \otimes A_{2p}$ であることを用いる。これにより、いかなる分離測定でも集合を区別できないことが示される。
• スワップ演算子 $V_{2p}$ と演算子 $A_{2p} = (I_{2p} \otimes I_{2p} - V_{2p})/(2p)$ を用い、測定プロセスにおける非分離性を検出するもつれ検出写像を定義する。
• この基準を応用して、$k_\sigma = 2d - q + \sigma$ のサイズを持つ集合 $\Xi_{2d}$ を構成し、$\sigma$ を $k_\sigma$ を最大化するように選ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $d \geq 4$ に対して、$d\otimes d$ 系における $d$ 個の完全な最大もつれ状態の集合が局所的に区別不能であるか？
• RQ2 最大もつれ状態の局所的区別不能な集合の最小サイズは、系の次元 $d$ に対してどの程度小さくできるか。また、この比 $k/d$ を $3/4$ に限りなく近づけることができるか？
• RQ3 LOCCプロトコルの非対称性と測定演算子の分離可能性を併用することで、局所的区別不能性の計算可能な基準を導出できるか？
• RQ4 $d \geq 6$ で偶数の場合、常に $d-1$ 個の最大もつれ状態の集合が分離測定によって区別不能であるか？

主な発見

• すべての $d \geq 4$ に対して、$d\otimes d$ 系における $d$ 個の最大もつれ状態の局所的区別不能な完全な構成が提供され、長年の未解決問題が解決された。
• $d \geq 6$ で偶数の場合、非対称HSSH法を用いて、$d-1$ 個の最大もつれ状態の集合が分離測定によって区別不能であることが証明された。
• 最大もつれ状態の局所的区別不能な集合のサイズ $k$ と系の次元 $d$ の比 $k/d$ は、$d$ が大きくなる極限で $3/4$ に近づく。
• $d = 4m$ の場合、$k = \frac{3}{4}d + 1$ 個の最大もつれ状態の集合が局所的に区別不能であることが示され、従来の構成を改善した。
• $d = 6m$ で $m$ が奇数の場合、$k = \frac{5}{6}d$ 個の局所的に区別不能な最大もつれ状態の集合が構成され、以前の結果よりも高い比を達成した。
• 本手法により、従来の予想や数値的検証で示された最大もつれ状態の集合の区別不能性が、計算可能な基準を用いて厳密に解析的証明された。