[論文レビュー] Determinant Form of Correlators in High Rank Integrable Spin Chains via Separation of Variables

Nikolay Gromov, Fedor Levkovich-Maslyuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 98被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、gl(N)対称性をもつ高ランク可解スピン鎖における相関関数および波動関数の重なりの行列式表現を、変数分離（SoV）プログラムを用いて開発する。明示的なSoV測度行列要素の計算により、物理的状態（on-shell）および非物理的状態（off-shell）のベーテ状態間の重なり、および異なるねじれパラメータをもつ状態間の重なりについて、簡潔な行列式表現が得られる。これはAdS/CFT応用において重要な結果である。本手法は、一般のスピン値および非コンパクトの場合に対しても、初めて一般化されたものであり、高ランク可解モデルにおけるフォーム因子および期待値の計算に体系的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this paper we take further steps towards developing the separation of variables program for integrable spin chains with gl(N) symmetry. By finding, for the first time, the matrix elements of the SoV measure explicitly we were able to compute correlation functions and wave function overlaps in a simple determinant form. In particular, we show how an overlap between on-shell and off-shell algebraic Bethe states can be written as a determinant. Another result, particularly useful for AdS/CFT applications, is an overlap between two Bethe states with different twists, which also takes a determinant form in our approach. Our results also extend our previous works in collaboration with A. Cavaglia and D. Volin to general values of the spin, including the SoV construction in the higher-rank non-compact case for the first time.

研究の動機と目的

• gl(N)対称性をもつ高ランク可解スピン鎖、特に非コンパクトおよび一般スピン表現を含めた変数分離（SoV）プログラムの拡張を図ること。
• SoV測度の行列要素を明示的に計算し、スカラー積および重なりの行列式による評価を可能にすること。
• 物理的状態と非物理的状態のベーテ状態間の重なり、および異なるねじれパラメータをもつ状態間の重なりといった、非自明な観測量の行列式表現を導出すること。
• sl(2)およびsl(3)に対する既存の結果を任意のgl(N)および非コンパクトの場合に一般化し、フォーム因子計算の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 著者らは、gl(N)スピン鎖における分離変数基底を構築し、普遍的ブロックに分解する波動関数を導出するSoVフレームワークを用いる。
• BaxterのQ関数およびトレース行列を用いて、積分表現と関数関係から直接SoV測度行列要素を計算する。
• 技術的進展の一つとして、スペクトルパラメータに関するバーデルモンド行列式およびポッヒハマー型積を用いた測度の一般式が導出される。
• スカラー積を行列式に写像するための「det-積」構成が採用され、量子小行列式と˚-写像を含む新しい代数的構造が用いられる。
• sl(2)およびsl(3)における既知の結果との整合性を示し、gl(N)生成子の振動子実現を用いて非コンパクトの場合に拡張する。
• 形式的体系は、測度要素および重なりの明示的計算が可能なMathematicaで実装されており、コードは付録に掲載されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のスピン値、非コンパクト表現を含む高ランクgl(N)スピン鎖におけるSoV測度を、一般のスピン値に対して明示的に計算することは可能か？
• RQ2 SoVフレームワーク内において、物理的状態と非物理的状態のベーテ状態間の重なりを簡潔な行列式形式で表現できるか？
• RQ3 gl(N)スピン鎖における異なるねじれパラメータをもつ2つのベーテ状態間の重なりの行列式表現は何か？
• RQ4 SoV測度は非コンパクトgl(N)モデルにどのように一般化されるのか。また、生成子の振動子表現はこの構成において果たす役割は何か？
• RQ5 この形式的体系を用いて、局所的スピン期待値などのトレース行列の微分のフォーム因子を行列式形式で計算できるか？

主な発見

• 一般gl(N)スピン鎖におけるSoV測度の行列要素が閉形式で導出され、sl(3)および一般のNについて明示的な表現が提供される。
• 物理的状態と非物理的状態のベーテ状態間の重なりが行列式形式をとることを示し、sl(2)から高ランクへの既知の結果の一般化が達成される。
• 異なるねじれパラメータをもつベーテ状態間の重なりも行列式として表現可能であり、これはsl(3)を超えて未知の結果であった。
• 非コンパクトの場合にも本手法は成功裏に一般化され、任意のスピンsに対して適用可能であり、関数関係を用いて測度における極のキャンセルが証明される。
• 局所的スピン期待値が、測度とトレース行列の微分から構成される行列の行列式として計算され、既知の結果と整合することが確認される。
• 付録に掲載されたMathematica実装により、測度要素および重なりの明示的計算が可能であり、sl(4)およびsl(3)鎖における例示出力が示されている。