[論文レビュー] Determinants and Inversion of Gram Matrices in Fock Representation of $\{q_{kl}\}$- Canonical Commutation Relations and Applications to Hyperplane Arrangements and Quantum Groups. Proof of an Extension of Zagier's Conjecture

Stjepan Meljanac, Dragutin Svrtan|ArXiv.org|Apr 26, 2003

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\{q_{kl}\}$-正準交換関係のフォック表現におけるグラム行列の行列式および逆行列について明示的な公式を確立し、ザジエールの予想の拡張版を証明する。グラム行列を $ (1 - QT)^{\pm 1} $ 行列の積に因数分解することにより、一般の場合における行列式および逆行列の閉形式表現を導出する。応用は超平面配置および量子群に及び、特に $U_q(\mathfrak{n}_-)$ の重層における対偶形式の計算に役立つ。

ABSTRACT

In this paper we study a collections of operators $a(k)$ satisfying the "$q_{kl} $-canonical commutation relations" $a(k)a^{+}(l)-q_{kl}a^{+}(l)a(k) =δ_{kl} $ (corresponding for $q_{kl}=q$ to Greenberg (infinite) statistics, for $q=\pm 1$ to classical Bose and Fermi statistics).We show that $n! imes n!$ matrices $A_{n}(\{q_{kl}\})$ of scalar products of n-particle states is positive definite for all n if $|q_{kl}|<1$, all k,l, so that the above commutation relations have a Hilbert space realization. This is achieved by explicit factorizations of $A_{n}(\{q_{kl}\})$ as a product of matrices of the form $(1-QT)^{\pm 1}$, where Q is a diagonal matrix and T is a regular represen- tation of a cyclic matrix. From such factorizations we obtain in Th. 1.9.2 explicit formulas for the determinant of $A_{n}(\{q_{kl}\})$ in the generic case (which generalizes Zagier's 1-parametric formula). For inversion of $A_{n} (\{q_{kl}\})$ we use ideas of Božejko and Speicher, and Th.2.2.6 gives a definite answer in terms of maximal chains in subdivision lattices. Our algorithm in Proposition 2.2.18 for computing the entries of $A_{n}(\{q_{kl}\} )$ is very efficient. In particular for $n=8$, when all $q_{kl}=q$, we found a counterexample to Zagier's conjecture concerning the form of the denominators of the entries in the inverse of $A_{n}(q)$. In Cor.2.2.8 we extend Zagier's Conjecture to multiparameter case. By applying a faster algorithm in Prop.2.2.19 we obtain in Th.2.2.20 explicit formulas for the inverse of the matrices $A_n(\{q_{kl}\})$ in the generic case. There are applications of these results to discriminant arrangements of hyperplanes and to contravariant forms of certain quantum groups.

研究の動機と目的

• $\{q_{kl}\}$-正準交換関係のフォック表現に現れるグラム行列の行列式および逆行列の明示的公式を導出すること。
• 分割ラティスと最大鎖に基づく新規な因数分解法を導入し、大規模な記号的グラム行列の逆行列計算の非効率性を解消すること。
• 一パrameterの場合のザジエールの予想の拡張版、すなわち多パrameterの場合における逆行列の分母構造に関する予想を証明すること。
• 導出された公式を量子群に応用し、特に $U_q(\mathfrak{n}_-)$ の重層における対偶形式の計算に役立てる。
• $|q_{kl}| < 1$ がすべての $k,l$ に対して成り立つ場合にグラム行列が正定値であることを確立し、交換関係のヒルベルト空間実現を保証すること。

提案手法

• グラム行列 $A^{(\nu)}$ を、$Q$ が対角で $T$ が巡回行列の正則表現である形の $ (1 - QT)^{\pm 1} $ 行列の積に因数分解する。
• $A^{(\nu)}$ の行列式は定理 1.9.2 を用いて計算され、ザジエールの1パrameter公式を多パrameterの場合に一般化する。
• 最大鎖におけるボゼイコ・スパイサータイプの公式に基づき、逆行列を構成し、計算を効率化する。
• $n=8$ に対しても効率的に $A^{(\nu)}$ の成分を計算できるアルゴリズムが開発された（命題 2.2.18）。これにより、ザジエールの元の予想の反例を生成可能となる。
• 逆行列は命題 2.2.19 の高速アルゴリズムを用いて明示的に計算され、定理 2.2.20 で一般の場合の閉形式表現が得られる。
• 量子群への応用は、グラム行列と $U_q(\mathfrak{n}_-)$ 上の対偶形式との関係を結び、$q_{ij} = q^{-b_{ij}/2}$ の代入により行列式の公式が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\{q_{kl}\}$-正準交換関係のフォック表現における $n$ 粒子状態のグラム行列の明示的行列式公式は何か？
• RQ2 $n! \times n!$ のグラム行列の逆行列は、その記号的複雑性を考慮してもどのようにして効率的に計算できるか？
• RQ3 ザジエールの予想が多パrameterの場合にも成り立つか、特に逆行列成分の分母構造に関して。
• RQ4 グラム行列と量子群 $U_q(\mathfrak{g})$ の対偶形式との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 $q_{kl}$ についてどのような条件下でグラム行列が正定値となり、ヒルベルト空間実現が保証されるか？

主な発見

• 定理 1.9.2 において、グラム行列 $A^{(\nu)}$ の行列式が閉形式の積公式として与えられ、ザジエールの1パrameter結果が多パrameterの場合に一般化される。
• $n=8$ および $q_{kl} = q$ の場合、元のザジエールの予想における逆行列成分の分母構造について反例が発見される。
• 拡張ザジエール予想（系 2.2.8）は、多パrameter設定において最適な形であることが証明され、逆行列成分の分母は $ (1 - q^{\sum b_{ij}}) $ 項の積として表れる。
• 分割ラティスにおける最大鎖に基づき、グラム行列の逆行列が明示的に計算され、定理 2.2.20 で一般の場合の閉形式表現が得られる。
• 重層 $ (U_q(\mathfrak{n}_-))_{(1,1,\dots,1)} $ 上の対偶形式の行列式は、$ \prod_{m=2}^{n} \prod_{1\leq i_1<\cdots<i_m\leq n} (q^{-\frac{1}{2}\sum b_{i_k i_l}} - q^{\frac{1}{2}\sum b_{i_k i_l}})^{(m-2)!(n-m+1)!} $ として導出される。
• $|q_{kl}| < 1$ がすべての $k,l$ に対して成り立つ限り、すべての $n$ に対してグラム行列が正定値であることが保証され、$\{q_{kl}\}$-正準交換関係のユニタリヒルベルト空間表現が実現される。