[論文レビュー] Determinants Containing Powers of Generalized Fibonacci Numbers

Aram Tangboonduangjit, Thotsaporn Thanatipanonda|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2015

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、行列の因数分解とDesnanot-Jacobiの恒等式を用いて、一般化フィボナッチ数の累乗またはその積を成分とする行列の行列式の明示的閉形式式を導出する。主な結果として、定数係数をもつ任意の2階線形漸化式へのカルツィッツのフィボナッチ累乗行列式の一般化が得られ、フィボナッチ型の項、漸化式の判別式の累乗、および二項係数を含む行列式の表現が得られる。

ABSTRACT

We study determinants of matrices whose entries are powers of Fibonacci numbers. We then extend the results to include entries that are powers of generalized Fibonacci numbers defined as a second-order linear recurrence relation. These studies have led us to discover a fundamental identity of determinant involving powers of linear polynomials. Finally, we discuss the determinants of matrices whose entries are products of the generalized Fibonacci numbers.

研究の動機と目的

• 定数係数をもつ任意の2階線形漸化式へのカルツィッツのフィボナッチ累乗行列式の一般化を目的とする。
• 一般化フィボナッチ数列 $ F_n $ に対して、成分が $ F_{s+k(n+i+j)}^r $ である行列の閉形式の行列式を導出すること。
• このような漸化式の項の積を成分とする行列式に対しても結果を拡張すること。
• 線形多項式の累乗を成分とする行列式に対する基本的恒等式を確立すること。
• Desnanot-Jacobiの恒等式を用いて、漸化式の項の積を成分とする行列式の計算を行うこと。

提案手法

• 特にクラットェンタラーの手法を用いた行列の因数分解技術を用いて、行列式行列をより単純な行列の積に分解する。
• 2階線形漸化式に対する一般化されたカタラン恒等式を、行列表現と数学的帰納法を用いて証明する。
• Desnanot-Jacobiの恒等式を用いて、漸化式の項の積を成分とする行列式の公式を導出する。
• バイネの公式と行列の累乗を用いて漸化式の項を表現し、行列式式の代数的変形を可能にする。
• 線形形式 $ A(j)X_i + B(j)Y_i $ を含む多項式行列式の恒等式を導入し、主な行列式公式の導出に用いる。
• 第2著者が開発した計算ツールに依存して、複雑な行列式恒等式の検証と導出を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化フィボナッチ数列 $ F_n $ に対して、成分が $ F_{s+k(n+i+j)}^r $（$ i,j = 0,1,\dots,r $）である行列の行列式は何か？
• RQ2 2階線形漸化式に対する一般化カタラン恒等式を行列法を用いてどのように証明できるか？
• RQ3 2つの異なる2階線形漸化式の項の積を成分とする行列の行列式は何か？
• RQ4 線形多項式の累乗を成分とする行列に対して、統一された行列式の公式を導出できるか？
• RQ5 Desnanot-Jacobiの恒等式は、漸化式の項の積を成分とする行列式の計算をどのように支援するか？

主な発見

• 行列 $ \mathbb{A}_n^{s,k}(r) = \left( F_{s+k(n+i+j)}^r \right)_{0\leq i,j\leq r} $ の行列式は、$ (-1)^{(s+kn+1)\binom{r+1}{2}} \cdot c_2^{(s+kn)\binom{r+1}{2} + 2k\binom{r+1}{3}} \cdot \Delta^{\binom{r+1}{2}} \cdot \prod_{i=0}^r \binom{r}{i} \cdot \prod_{\ell=1}^r U_{(\ell+1)k}^{2(r-\ell)} $ で与えられる。ここで $ U_n $ は関連するルーカス数列である。
• フィボナッチ数列（$ c_2 = 1, \Delta = 1 $）の場合、公式は $ D(r,s,k,n) = (-1)^{(s+kn+1)\binom{r+1}{2}} (F_k^r F_{2k}^{r-1} \cdots F_{rk})^2 \cdot \prod_{i=0}^r \binom{r}{i} $ に簡略化され、カルツィッツの主結果が回復される。
• 一般化カタラン恒等式 $ W_{s+i}Y_{s+j} - W_s Y_{s+i+j} = (-c_2)^s (W_1 Y_j - W_0 Y_{j+1}) U_i $ は、行列表現と帰納法を用いて証明された。
• 成分が $ \prod_{\ell=j+1}^r W_{s+k(n+i+d_\ell)} \cdot \prod_{m=1}^j W_{s+k(n+i+e_m)} $ である行列の行列式は、$ \Delta^{\binom{r+1}{2}} $、$ c_2 $ の累乗、およびルーカス数の積を含む公式で与えられる。
• 多項式成分に対して恒等式 $ \det((A(j)X_i + B(j)Y_i)^r) = \prod_{i<j} (X_i Y_j - X_j Y_i) \cdot \prod_{i<j} (A(i)B(j) - A(j)B(i)) \cdot \prod_{i=0}^r \binom{r}{i} $ が確立された。
• 系9は、$ d_j = 0 $、$ e_j = 1 $、$ n = 0 $ のとき、フィボナッチ数の基本的累乗行列式が導出された公式と一致することを確認している。