[論文レビュー] Determinants of adjacency matrices of graphs

Aliréza Abdollahi|ArXiv.org|Aug 23, 2009

Graph theory and applications参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、n ≤ 9 頂点の非同型なすべてのグラフの隣接行列の行列式の集合を、nauty および GAP を用いて正確に計算することで調査している。2つのサイクルをちょうど持つグラフの行列式は、有限個の整数に限られることを確立し、最大および最小の行列式に関する境界および構造的性質（偶奇性や可除性制約を含む）を導出している。

ABSTRACT

We study the set of all determinants of adjacency matrices of graphs with a given number of vertices.

研究の動機と目的

• n ≤ 9 の非同型グラフすべての隣接行列の行列式の可能な値の完全な集合を特定すること。
• 最大および最小の行列式値 αₙ および βₙ を特徴づけ、それらが 0 または非ゼロである場合を特定すること。
• グラフの性質（サイクル構造、二部グラフ性など）に基づいた行列式の構造的制約（偶奇性、可除性など）を調査すること。
• 与えられたサイズ n のグラフでは現れない整数を特定すること。
• サイズ n および n+1 のグラフの行列式集合の関係を調査し、特異グラフの割合の漸近的挙動を検討すること。

提案手法

• Brendan McKay の nauty ソフトウェアを用いて、最大 9 頂点のすべての非同型グラフを計算する。
• GAP を用いて各グラフの隣接行列の行列式を計算し、行列式集合 DGₙ の正確な列挙を可能にする。
• 行列式の大きさに関する理論的上限を導くために、ハダマールの不等式およびライザーの境界といった既知の行列理論の結果を適用する。
• 文献[1]の定理1.3を用いて、特に2つのサイクルを持つグラフに対して、基本的図形（サイクルと辺の互いに素な和）を通じて行列式を分析する。
• パスで接続されたサイクルを有する2つのサイクルをちょうど持つグラフの構造的解析を行い、[1, 定理2.11および2.12] に示された再帰的行列式公式を適用する。
• 0-1 行列の性質およびグラフ不変量（ニューマンの結果およびそのグラフへの拡張を含む）を用いて、可除性および偶奇性の制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≤ 9 の場合、n 個の頂点を持つグラフの隣接行列が取り得る行列式の完全な集合は何か？
• RQ2 どの整数 m に対して、det(G) = m を満たす n 頂点のグラフ G が存在しないか？
• RQ3 n > 3 の場合、最大行列式 αₙ と最小行列式 βₙ は常に正および負であるか？
• RQ4 αₙ および βₙ を達成するグラフは、連結性や正則性といった特別な構造的性質を必ず有するか？
• RQ5 n → ∞ のとき、行列式がゼロであるグラフの割合は 1/2 に収束するか？

主な発見

• n ≤ 9 の範囲で、行列式値 DGₙ は完全に計算され、各行列式の正確な重複度が表にまとめられている。
• すべての n > 2 に対して最大行列式 αₙ は正であり、すべての n > 3 に対して最小行列式 βₙ は負であり、n ≥ 4 のとき αₙ > 0 かつ βₙ < 0 である。
• 奇数個の頂点を持つすべてのグラフの行列式は偶数であり、奇数個の頂点を持つすべての二部グラフの行列式はゼロである。
• 2つのサイクルをちょうど持つグラフの行列式は、常に集合 {0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±8, ±16} の中にある。
• 2つの奇数長サイクルが互いに素であるグラフの行列式は {−8, 0, 3, 5, 16} に属し、連結な2サイクルグラフの行列式集合は接続パスの長さに依存する。
• 行列式がゼロであるグラフの割合は n と共に急速に増加する傾向にあり、n → ∞ のときのこの割合の極限 δ₀ は存在する可能性があるが、その値はまだ特定されていない。