[論文レビュー] Determination of 2-Adic Complexity of Generalized Binary Sequences of Order 2

Minghui Yang, Keqin Feng|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、合成周期 $pq$ 上でリーマン記号を用いて定義される2次一般化バイナリ系列の正確な2進複雑度を、$\text{gcd}((q-1)_o, 2^p - 1)$ と $\text{gcd}((p+1)_o, 2^q - 1)$ を含む閉形式式を導出することによって決定する。主な貢献は、最大2進複雑度に達するためのより鋭い下界と改善された十分条件を提示したことであり、[5]および[7]における先行研究を凌駕する。

ABSTRACT

The generalized binary sequences of order 2 have been used to construct good binary cyclic codes [4]. The linear complexity of these sequences has been computed in [2]. The autocorrelation values of such sequences have been determined in [1] and [3]. Some lower bounds of 2-adic complexity for such sequences have been presented in [5] and [7]. In this paper we determine the exact value of 2-adic complexity for such sequences. Particularly, we improve the lower bounds presented in [5] and [7] and the condition for the 2-adic complexity reaching the maximum value.

研究の動機と目的

• 周期 $pq$ で、$p$ と $q$ が異なる奇素数である2次一般化バイナリ系列の正確な2進複雑度を特定すること。
• [5]および[7]で提示された2進複雑度の既存の下界を改善すること。
• 2進複雑度が理論的上限値に達するための十分条件を精緻化すること。
• ガウス和およびモジュロ算術の性質を用いて、2進複雑度の閉形式式を確立すること。

提案手法

• リーマン記号と二次ガウス和 $G_p$、$G_q$ を含む系列定義を用いて、$S(2) \bmod (2^{pq} - 1)$ の明示的公式を導出する。
• モジュロ算術の恒等式を適用し、$2S(2) \bmod (2^{pq} - 1)$ を幾何級数およびガウス和の積の形に簡略化する。
• リーマン記号の性質と奇素数 modulo における2の乗法的位数を用いて、$S(2)$ が $2^p - 1$、$2^q - 1$、$2^{pq} - 1$ で割り切れるかどうかを分析する。
• ここで $d_1 = \text{gcd}((q-1)_o, 2^p - 1)$、$d_2 = \text{gcd}((p+1)_o, 2^q - 1)$、$d_3 = 1$ と定義し、$d = d_1 d_2 d_3 = \text{gcd}(S(2), 2^{pq} - 1)$ であることを示す。
• オイラーの定理および素因数 modulo における2の位数の分析を含む数論的議論を用いて、$d_1$、$d_2$、$d_3$ が互いに素であることを証明する。
• 2進複雑度を $C_2(S) = \text{log}_2\big((2^{pq} - 1)/d_1 d_2\big)$ として確立し、$d_1 = 1$ または $d_2 = 1$ の明示的条件を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期 $pq$ を持つ2次一般化バイナリ系列の正確な2進複雑度は何か？
• RQ2 [5]および[7]で報告された既存の下界をどのように改善できるか？
• RQ3 2進複雑度が理論的上限値 $\text{log}_2(2^{pq} - 1)$ に達する条件は何か？
• RQ4 $(q-1)$ および $(p+1)$ の奇数部は、2進複雑度の決定にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 系列の正確な2進複雑度は $C_2(S) = \text{log}_2\big((2^{pq} - 1)/d_1 d_2\big)$ であり、ここで $d_1 = \text{gcd}((q-1)_o, 2^p - 1)$ および $d_2 = \text{gcd}((p+1)_o, 2^q - 1)$ である。
• $(q-1)_o < 2p + 1$ ならば $d_1 = 1$；$(p+1)_o < 2q + 1$ ならば $d_2 = 1$ となり、$C_2(S)$ の簡略化された表現が得られる。
• 新たな下界が確立された：$C_2(S) \geq \text{log}_2\big((2^{pq} - 1)/\text{max}((q-1)_o, (p+1)_o)\big)$ であり、[5]および[7]における既存の下界を改善する。
• $(q-1)_o < 2p - 1$ および $(p+1)_o < 2q - 1$ が両方成り立つ場合、2進複雑度は最大値 $\text{log}_2(2^{pq} - 1)$ を達成する。
• 証明により $d_3 = \text{gcd}(S(2), (2^{pq} - 1)/((2^p - 1)(2^q - 1))) = 1$ であることが示され、$d = d_1 d_2$ が保証される。
• 解析により $d_1$、$d_2$、$d_3$ が互いに素であることが確認され、これが最終的な公式の正確性に不可欠である。