[論文レビュー] Determination of all pure quantum states from a minimal number of observables

Damien Mondragon, Vladislav Voroninski|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2013

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ひとこと要約

本稿は、次元 $ n \geq 6 $ の任意の純粋量子状態を、全ランクをもつ4つの一般の観測可能量を用いて、グローバル位相を除き情報的に完全に特定できることを確立している。この結果により、$ 4n $ 個の強度測定値から位相の不定性を除いた一意的な再構成が可能となる。この結果は鋭いものであり、高次元では4つ未満の観測可能量では情報的完全性を達成できない。また、この構成により $ \mathbb{C}P^{n-1} $ が $ \mathbb{R}^{4n-4} $ に埋め込まれることも示されている。

ABSTRACT

We show that for any positive integer $n$, the maps $x \in \mathbb{C}^n \mapsto \{\left|\langle x, z_i angle ight|^2\}_{i=1}^{4n} \in \mathbb{R}^{4n}$, where $z_i$ are the columns of four $n imes n$ unitary matrices, are generically injective modulo multiplication by a global phase factor, yielding a family of embeddings of $\mathbb{C}P^{n-1}$ into $\mathbb{R}^{4n-4}$. In particular, this implies that distribution measurements about a pure state with four generic full-rank observables are informationally complete, which is sharp for $n \geq 6$. To complement this information-theoretic study, we establish in a companion paper that the PhaseLift algorithm yields efficient phase retrieval from quadratic measurements with $O(1)$ unitary matrices, with high probability, where the unitaries are iid according to Haar measure.

研究の動機と目的

• グローバル位相を除き、任意の純粋量子状態を $ \mathbb{C}^n $ で一意に再構成するために必要な最小の観測可能量の数を特定すること。
• 長年のパウリ問題とライトの予想を解決し、$ n \geq 6 $ のとき、4つの観測可能量が情報的完全性を達成するのに必要かつ十分であることを証明すること。
• 実代数幾何学とナッシュ層構造を用いて、情報的理論的限界を確立し、$ 4n $ 個の測定が一般に十分かつ必要であることを示すこと。
• 情報的理論的回復限界と効率的な計算的回復を結びつけるために、PhaseLiftが $ O(1) $ 個のユニタリ行列を用いて高確率で正確な再構成を達成できることを示すこと。
• 4つのユニタリ行列を用いた $ \mathbb{C}P^{n-1} $ から $ \mathbb{R}^{4n-4} $ への埋め込みの幾何的構成を提供し、境界の鋭さを確認すること。

提案手法

• 4つの $ n \times n $ ユニタリ行列の列 $ z_i $ を用いた測定写像 $ x \mapsto \{ |\langle x, z_i \rangle|^2 \}_{i=1}^{4n} $ のファイバー次元を、実代数幾何学的手法を用いて分析する。
• ナッシュ層構造と次元論を適用し、非単射測定写像の集合が少なくとも1の余次元を持つことを示し、グローバル位相を除き一般に単射であることを裏付ける。
• 半代数的変換 $ \phi_j $ を用いて特異点集合 $ W_{ij} $ の次元を比較し、問題を $ \mathbb{R}^{4n} $ の部分代数的集合 $ Y \subset \mathbb{R}^{4n} $ の次元の上限に還元する。
• $ Y $ の正則点における接空間の次元を計算し、$ \dim Y = 3n - 5 $ を示し、これにより $ \dim W_{ij} \leq 3n - 5 $ が導かれる。この結果は単射性の証明を支持する。
• ユニタリ群上のハール測度と確率論的手法を用いて、ランダムなユニタリ行列が高確率で単射測定をもたらすことを示す。
• 理論的単射性とアルゴリズム的回復を統合し、Semidefinite Program である PhaseLift が、高確率で $ O(1) $ 個のユニタリ行列を用いて純粋状態を正確に再構成できることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル位相を除き、任意の純粋量子状態を $ \mathbb{C}^n $ で一意に特定するために必要な最小の観測可能量の数は何か？
• RQ2 4つの一般の全ランク観測可能量は、$ n \geq 6 $ の次元において、純粋状態の情報的完全性を達成できるか？また、この数は鋭いか？
• RQ3 高次元において、4つ未満の観測可能量が情報的完全性を達成できない幾何的・代数的障害は何か？
• RQ4 定数個のユニタリ測定から効率的かつ正確な位相再構成が可能か？また、PhaseLiftアルゴリズムはこのような条件下で成功するか？
• RQ5 測定写像 $ x \mapsto \{ |\langle x, z_i \rangle|^2 \} $ の構造は、$ \mathbb{C}P^{n-1} $ のユークリッド空間への埋め込みとどのように関係するか？

主な発見

• 任意の $ n \geq 6 $ に対して、4つの $ n \times n $ ユニタリ行列の列 $ z_i $ を用いた写像 $ x \mapsto \{ |\langle x, z_i \rangle|^2 \}_{i=1}^{4n} $ は、一般にグローバル位相を除き単射である。
• この構成により、$ \mathbb{C}P^{n-1} $ から $ \mathbb{R}^{4n-4} $ への埋め込みの族が得られ、$ 4n $ 個の強度測定が情報的完全性に十分であることを確認する。
• この結果は鋭い：$ n \geq 6 $ のとき、情報的完全性を達成するには少なくとも4つの観測可能量が必要であり、これは $ \mathbb{C}P^n $ をユークリッド空間に埋め込む際の幾何的障害によるものである。
• 単射性に失敗する特異点集合 $ W_{ij} $ の次元は $ 3n - 5 $ 以下であり、非単射な構成の集合が少なくとも1の余次元を持つことを示唆する。
• ユニタリ行列が独立かつ一様に分布（ハール測度）する場合、PhaseLiftアルゴリズムは任意の固定された純粋状態を $ O(1) $ 個のユニタリ行列から高確率で正確に再構成できる。
• 情報的理論的限界（4つの観測可能量）から、PhaseLiftによる効率的回復への飛躍は定数倍の過剰サンプリング要因にすぎず、最適な情報量が効率的回復を可能にすることを示している。