[論文レビュー] Determination of the 2- cocycles for the three point Witt algebra

Elizabeth Jurisich, Renato A. Martins|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2014

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$R = \mathbb{C}[t,t^{-1},u]/(u^2 - t^2 - 4t)$ における3点ウィット代数 $\mathfrak{Der}(R)$ における2次コサイクルの明示的公式を、$\mathfrak{Der}(S)$ との同型を活用することで決定する。ここで $S = \mathbb{C}[s,s^{-1},(s-1)^{-1}]$ であり、コサイクルは既に知られている。主な貢献は、特にチュ＝ヴァンダモンドの畳み込みを含む組合せ的恒等式を用いた、これらのコサイクルの閉形式による計算であり、表現論における普遍的中心拡大および3点バーラモリ代数の構成を可能にする。

ABSTRACT

We provide formulas for computing the cocycles on a 3-point Witt algebra Der(R), using an isomorphism between two 3-point algebras Der(R) and Der(S), where the cocycle is already defined. These cocycles can be used to construct universal central extensions and the 3-point Virasoro, which are useful for the representation theory of a 3-point current algebra. The computations determining the cocycles on Der(R) involve elegant applications of the Chu-Vandermonde convolution and other identities for sums of binomial coefficients.

研究の動機と目的

• 3点ウィット代数 $\mathfrak{Der}(R)$ における2次コサイクルの明示的公式を計算すること。ここで $R = \mathbb{C}[t,t^{-1},u]/(u^2 - t^2 - 4t)$ であり、これは中心拡大および3点バーラモリ代数の構成に不可欠である。
• 文献 [Bre91] で提示された問題を解決すること。具体的には、$\mathfrak{Der}(S)$ における既知のコサイクル（[CGLZ14] より）を、$R \to S$ の環同型を介して $\mathfrak{Der}(R)$ に移行することで、$\mathfrak{Der}(R)$ 上での明示的コサイクル計算を提供すること。
• $\mathfrak{Der}(R)$ 上の導出コサイクルがゼロとコhomologousでないことを確立すること。これにより、3点電流代数の表現論における非自明性と有用性が裏付けられる。

提案手法

• 環同型 $f: R \to S$ を $f(t) = s^{-1}(s-1)^2$, $f(u) = s - s^{-1}$ で定義し、その逆 $\phi: S \to R$ を用いて、既知の $\mathfrak{Der}(S)$ 上のコサイクルを $\mathfrak{Der}(R)$ に移す。
• $\mathfrak{Der}(R)$ の基底を $d_n = t^n u D$, $e_n = t^n D$ ($D = (t+2)\partial_u + u\partial_t$) として定義し、コサイクルをこの基底で表現する。
• $\mathfrak{Der}(S)$ 上の既知のコサイクル $\phi_1, \phi_2$ を同型を介して $\mathfrak{Der}(R)$ に引き戻し、$\bar{\phi}_1, \bar{\phi}_2$ を得る。
• 母関数と組合せ的恒等式（特にチュ＝ヴァンダモンドの畳み込みおよび二項係数の和の恒等式）を用いて、インデックスに関する和を簡略化・評価する。
• 二項係数の恒等式を用いた直接計算により、得られた形式の反対称性およびコサイクル条件（ヤコビ恒等式）を検証する。
• $\bar{\phi}_1(e_k, e_l)$, $\bar{\phi}_1(e_k, d_l)$, $\bar{\phi}_1(d_k, d_l)$ および $\bar{\phi}_2$ に対応する類似の式について、$k, l$ およびクロネッカーのデルタに明示的な依存関係を持つ閉形式の式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3点ウィット代数 $\mathfrak{Der}(R)$ における2次コサイクルの明示的公式は何か。ここで $R = \mathbb{C}[t,t^{-1},u]/(u^2 - t^2 - 4t)$ である。
• RQ2 既知の $\mathfrak{Der}(S)$ 上のコサイクル（$S = \mathbb{C}[s,s^{-1},(s-1)^{-1}]$）は、環同型 $f: R \to S$ を介して $\mathfrak{Der}(R)$ にどのように移行できるか。
• RQ3 引き戻されたコサイクルを $\mathfrak{Der}(R)$ 上で計算するために必要な組合せ的恒等式は何か。それらは式をどのように簡略化するか。
• RQ4 得られた $\mathfrak{Der}(R)$ 上のコサイクルは非自明（すなわちゼロとコhomologousでない）か。また、2次コサイクル条件を満たすか。
• RQ5 $\mathfrak{Der}(R)$ 上の2つのコサイクル $\bar{\phi}_1$ と $\bar{\phi}_2$ の正確な関係は何か。それらは $\mathfrak{Der}(S)$ 上の既知のコサイクルとどのように関係しているか。

主な発見

• $\mathfrak{Der}(R)$ 上の最初のコサイクル $\bar{\phi}_1$ は、任意の $k,l \in \mathbb{Z}$ に対して $\bar{\phi}_1(e_k, e_l) = 6(-1)^{k+l}2^{k+l}(k-1)kl\frac{(2k+2l-3)!!}{(k+l+1)!}$ を満たし、これは $k+l=0$ および $k+l=1$ のときのみ非ゼロとなる。
• 2番目のコサイクル $\bar{\phi}_2$ は $\bar{\phi}_2(e_k, e_l) = -2\bar{\phi}_1(e_k, e_l)$ を満たし、$\bar{\phi}_2(e_k, d_l) = 0$ である。これは2つのコサイクル間に線形関係があることを示している。
• $d_k, d_l$ 成分については、$\bar{\phi}_1(d_k, d_l)$ は二項係数と $(m^3 - m)$ 項を含む和で与えられ、$k+l=0$ または $k+l=1$ のときのみ非自明な値をとり、結果として $-6(k^3 - k)\delta_{k+l,0} - 12k(k-1)(2k-1)\delta_{k+l,1}$ となる。
• $\bar{\phi}_1(d_k, d_l)$ は非自明かつ反対称であり、二重和（インデックスの和）で表され、符号因子と二項係数を含む。最終的にチュ＝ヴァンダモンドの恒等式により簡略化される。
• $\bar{\phi}_2(d_k, d_l)$ は $\bar{\phi}_2(d_k, d_l) = -2\bar{\phi}_1(d_k, d_l)$ を満たし、$d$-基底要素において2つのコサイクルが $-2$ の係数で線形従属であることが示される。
• 計算により、引き戻されたコサイクル $\bar{\phi}_1, \bar{\phi}_2$ が正しく定義されており、反対称的かつ2次コサイクル条件を満たしていることが確認され、組合せ的恒等式を用いて明示的な公式が導出された。