[論文レビュー] Determination of the prime bound of a graph

Abderrahim Boussaïri, Pierre Ille|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、グラフの最大モジュラークリークと安定数を分析することにより、非素数グラフを素数グラフに拡張するために必要な頂点の最小数（素数境界）を決定する。最大のこれらの数値が2の累乗でない場合とそうでない場合に基づき、正確な公式を確立し、素数拡張サイズの上界に関する予想を解決する。

ABSTRACT

Given a graph $G$, a subset $M$ of $V(G)$ is a module of $G$ if for each $v\in V(G)\setminus M$, $v$ is adjacent to all the elements of $M$ or to none of them. For instance, $V(G)$, $\emptyset$ and $\{v\}$ ($v\in V(G)$) are modules of $G$ called trivial. Given a graph $G$, $ω_M(G)$ (respectively $α_M(G)$) denotes the largest integer $m$ such that there is a module $M$ of $G$ which is a clique (respectively a stable) set in $G$ with $|M|=m$. A graph $G$ is prime if $|V(G)|\geq 4$ and if all its modules are trivial. The prime bound of $G$ is the smallest integer $p(G)$ such that there is a prime graph $H$ with $V(H)\supseteq V(G)$, $H[V(G)]=G$ and $|V(H)\setminus V(G)|=p(G)$. We establish the following. For every graph $G$ such that $\max(α_M(G),ω_M(G))\geq 2$ and $\log_2(\max(α_M(G),ω_M(G)))$ is not an integer, $p(G)=\lceil\log_2(\max(α_M(G),ω_M(G))) ceil$. Then, we prove that for every graph $G$ such that $\max(α_M(G),ω_M(G))=2^k$ where $k\geq 1$, $p(G)=k$ or $k+1$. Moreover $p(G)=k+1$ if and only if $G$ or its complement admits $2^k$ isolated vertices. Lastly, we show that $p(G)=1$ for every non prime graph $G$ such that $|V(G)|\geq 4$ and $α_M(G)=ω_M(G)=1$.

研究の動機と目的

• 非素数グラフを素数グラフに拡張するために必要な頂点の最小数（素数境界）を特定すること。
• ブリグナルの予想における素数拡張サイズの上界を、モジュラークリーク数と安定数を用いて精緻化すること。
• モジュラー安定数とクリーク数の最大値に基づいて素数境界を特徴づけること。
• 対応するモジュラーパラメータの対数関数によるタイトな境界が素数境界に与えられることを示し、予想を解決すること。

提案手法

• モジュラークリーク数 ωₘ(G) とモジュラー安定数 αₘ(G) の概念を導入し、これらはモジュラーでもある最大のクリークおよび安定集合を測定する。
• 帰納法と再帰的構築を用いて素数拡張を構築し、拡張されたグラフに非自明なモジュールが導入されないようにする。
• 1-拡張技術を適用し、1つの頂点 a を追加し、既存のモジュールへの接続を慎重に制御することで非自明なモジュールを破壊する。
• ラベル付けシステム λ_G(N) を用いてモジュールを分類し、素数部分グラフのみを拡張することで、素数性を維持する。
• 最小の非素数部分グラフの構造を分析し、頂点集合のモジュールへの分割を用いて拡張の挙動を制御する。
• max(αₘ(G), ωₘ(G)) が2の累乗でない場合、素数境界 p(G) は正確に ⌈log₂(max(αₘ(G), ωₘ(G)))⌉ に等しく、それが2ᵏ に等しい場合、p(G) は k または k+1 に等しく、G またはその補グラフに2ᵏ 個の孤立頂点がある場合に限り p(G) = k+1 となることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大のモジュラークリークまたは安定集合が与えられた非素数グラフを素数グラフに拡張するために必要な頂点の最小数は何か？
• RQ2 素数境界は、モジュラー安定数とクリーク数の最大値にどのように依存するか？
• RQ3 max(αₘ(G), ωₘ(G)) = 2ᵏ を満たすグラフにおいて、素数境界が正確に k で、また k+1 であるのはいつか？
• RQ4 すべての非自明なモジュールが単一頂点と全集合以外に存在しない非素数グラフに対して、素数境界は常に1のままであるか？
• RQ5 ブリグナルの素数拡張サイズの上界に関する予想は正当であり、モジュラーパラメータを用いてより厳密にできるか？

主な発見

• max(αₘ(G), ωₘ(G)) ≥ 2 かつ log₂(max(αₘ(G), ωₘ(G))) が整数でないすべてのグラフ G に対して、素数境界は正確に ⌈log₂(max(αₘ(G), ωₘ(G)))⌉ に等しい。
• max(αₘ(G), ωₘ(G)) = 2ᵏ (k ≥ 1) の場合、素数境界は k または k+1 であり、p(G) = k+1 であることは、G またはその補グラフに2ᵏ 個の孤立頂点がある場合に限り成り立つ。
• |V(G)| ≥ 4 かつ αₘ(G) = ωₘ(G) = 1 を満たすすべての非素数グラフ G に対して、素数境界は正確に1に等しい。
• max(αₘ(G), ωₘ(G)) ≥ 2 を満たすすべてのグラフに対して、不等式 ⌈log₂(max(αₘ(G), ωₘ(G)))⌉ ≤ p(G) ≤ ⌈log₂(max(αₘ(G), ωₘ(G)) + 1)⌉ が成り立つ。
• 1つの頂点を追加する素数拡張の構成により、すべての非自明なモジュールが破壊され、結果として得られるグラフは素数である。
• 本稿は、ブリグナルの予想を肯定的に確認し、max(α(G), ω(G)) に基づく上界がモジュラーパラメータを用いて精緻化可能であることを示した。