[論文レビュー] Determining probability density functions with adiabatic quantum computing

Matteo Robbiati, Juan Cruz–Martinez+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、データサンプルから確率密度関数（PDF）を推定するための新しい断熱的量子計算手法を提案する。この手法では、経験的累積分布関数（CDF）を断熱的遷移を介して時間に依存するハミルトニアンにマッピングし、Trotter化された量子回路とパラメータシフト則を用いてPDFをCDFの微分として計算する。この手法は、エラー補正を用いないシミュレート済みおよび実際の超伝導量子ハードウェア上でも正確な結果を達成している。

ABSTRACT

The two main approaches to quantum computing are gate-based computation and analog computation, which are polynomially equivalent in terms of complexity, and they are often seen as alternatives to each other. In this work, we present a method for fitting one-dimensional probability distributions as a practical example of how analog and gate-based computation can be used together to perform different tasks within a single algorithm. In particular, we propose a strategy for encoding data within an adiabatic evolution model, which accomodates the fitting of strictly monotonic functions, as it is the cumulative distribution function of a dataset. Subsequently, we use a Trotter-bounded procedure to translate the adiabatic evolution into a quantum circuit in which the evolution time t is identified with the parameters of the circuit. This facilitates computing the probability density as derivative of the cumulative function using parameter shift rules.

研究の動機と目的

• 高エネルギー物理学において特に顕著な課題である、データサンプルから確実に確率密度関数を推定すること。
• QNN や GAN などの既存の量子機械学習モデルが閉形式のPDFを生成できない、または学習の不安定性を抱えるという制限を克服すること。
• 断熱的量子遷移と量子回路微分を用いて、トレーニング不要で制約を考慮したPDF推定手法を開発すること。
• NISQ時代の量子デバイス上で、エラー補正を除き、パラメータシフト則と回路ベースの量子計算のみを用いてPDFを直接推論可能にする。

提案手法

• 本手法は、時間に依存するハミルトニアン $ H(t) = [1 - s(t;\theta)]H_0 + s(t;\theta)H_1 $ を構築することで、経験的CDFを回帰する断熱的量子遷移を用いる。ここで $ H_0 = X $、$ H_1 = Z $、$ s(t;\theta) $ は変分的スケジューリング関数である。
• スケジューリング関数 $ s(t;\theta) $ は、時間 $ t \in [0,T] $ の間にハミルトニアン $ H(t) $ の基底状態エネルギーが目標CDF値と一致するように最適化される。
• 得られた断熱的ハミルトニアンは、ゲートベースの量子プロセッサでの実装を可能にするためにTrotterに類似した分解法を用いて量子回路に分解される。
• 確率密度関数は、量子回路上でパラメータシフト則（PSR）アルゴリズムを用いてCDFの微分として抽出される。
• 本手法は、既知の分布および高エネルギー物理学のモンテカルロサンプルを用いて数値的に検証され、正確な解析的形と比較されている。
• ハードウェア評価は、Quantum Research Centre（TII）の5キュービット超伝導チップを用いて実施され、各データポイントごとに $ N_{\text{shots}} = 1000 $ および $ N_{\text{runs}} = 10 $ が使用された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子ニューラルネットワークのエンドツーエンドトレーニングを必要とせずに、断熱的量子計算を用いて確率密度関数を推定できるか？
• RQ2 変分的スケジューリングを用いて、経験的累積分布関数を時間に依存する量子ハミルトニアンに正確にマッピングできるか？
• RQ3 近い将来の量子ハードウェア上で、パラメータシフト則を用いて量子回路出力を微分し、PDFを抽出できる範囲はどの程度か？
• RQ4 エラー補正を用いない実際の超伝導デバイスにおけるノイズやキュービットの忠実度に対して、本手法はどの程度頑健か？

主な発見

• 本手法は、ガウス分布、ガンマ分布、指数分布などの既知の分布に対し、$ N_{\text{shots}} = 5 \times 10^4 $ で最も悪い状況でも相対誤差10％未満でPDFを正確に推定できた。
• 5キュービット超伝導チップ上でのガンマ分布のハードウェア評価では、キュービットごとに平均予測比 $ \hat{y}/y $ が4.8から15.5の範囲に達した。性能は忠実度に依存していた。
• 割り当て忠実度が0.953（キュービット2）および0.952（キュービット3）のキュービットは、$ K $ 値がそれぞれ6.8および4.8を示し、相対的に良好な性能を示した。
• エラー補正を用いない状態でも、ハードウェア上で安定したCDFフィッティングが達成されたため、NISQデバイスへの直接的な展開が可能であると示唆された。
• パラメータシフト則により、実ハードウェア上で正確なPDF抽出が可能となり、量子回路の微分戦略の有効性が検証された。
• 各i.i.d.変数を別々のキュービットレジスタを用いて独立して適用することで、本手法は多次元PDFへのスケーラビリティを有する。