[論文レビュー] Determining Singularities Using Row Sequences of Padé-orthogonal Approximants

Nattapong Bosuwan, G. López Lagomasino+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、複素平面の一般のコンパクト部分集合上に台を持つ測度と関連するペーデ・直交近似の行系列について、直接的および逆定理を確立する。近似の極が関数の特異点に収束することを示し、ファブリー、ド・モンテーユス、ブスラエフ、シュエチンの古典的結果を、共形写像と直交多項式の漸近解析を用いて、任意のコンパクト集合における直交近似へと拡張する。

ABSTRACT

Starting from the orthogonal polynomial expansion of a function $F$ corresponding to a finite positive Borel measure with infinite compact support, we study the asymptotic behavior of certain associated rational functions (Padé-orthogonal approximants). We obtain both direct and inverse results relating the convergence of the poles of the approximants and the singularities of $F.$ Thereby, we obtain analogues of the theorems of E. Fabry, R. de Montessus de Ballore, V.I. Buslaev, and S.P. Suetin.

研究の動機と目的

• 測度が一般のコンパクト部分集合 $E \subset \mathbb{C}$ に台を持つ場合のペーデ近似の古典的収束定理を、ペーデ・直交近似へと拡張すること。
• 関数 $F$ の特異点の位置と、ペーデ・直交近似の極の漸近的挙動との間の関係を示す直接的結果を確立すること。
• 逆結果を証明し、極の漸近的分布を用いて $F$ の特異点の位置と性質を同定できることを示すこと。
• ファブリー、ド・モンテーユス・ド・バラール、ブスラエフ、シュエチンの結果を、共形表現を用いた一般のコンパクト集合上での直交近似の設定に一般化すること。
• 正則な測度を伴うコンパクト集合上での直交多項式の文脈において、ペーデ・直交近似の行系列を用いた特異点検出の理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• コンパクト集合 $E$ の外部 $\overline{\mathbb{C}} \setminus E$ から $\overline{\mathbb{C}} \setminus \{ |w| \leq 1 \}$ への外部共形写像 $\Phi$ とその逆写像 $\Psi = \Phi^{-1}$ を用いて、標準的領域 $D_\rho$ と等高線 $\Gamma_\rho$ を定義する。
• 正規直交多項式 $p_n$ を用いた $L^2(\mu)$-内積における誤差を最小化する有理関数として、ペーデ・直交近似 $[n/m]_F^\mu$ を定義する。
• 正則性の仮定の下で直交多項式の漸近解析を適用する：$\mathbb{C} \setminus E$ のコンパクト部分集合上で一様に $\lim_{n \to \infty} |p_n(z)|^{1/n} = |\Phi(z)|$ が成り立つ。
• Fourier係数 $F_n = \langle F, p_n \rangle_\mu$ を用いて収束半径 $\rho_0(F) = (\limsup |F_n|^{1/n})^{-1}$ を定義し、最大の正則領域を特徴付ける。
• 複素曲線積分とコーシーの積分公式を用いて、近似の分母 $Q_{n,m}^\mu(z)$ を係数 $\langle z^j F, p_{n+k} \rangle_\mu$ を含む行列式として表現し、その後 $w = \Psi(z)$ による変換を施す。
• Toeplitz型行列の行列式の漸近的挙動に関する補題2を適用し、$Q_{n,m}^\mu(z)$ の零点が $w$-平面上における関数 $f(w)$ の極に収束することを示し、これらは $F$ の特異点に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $m$ に対して、$n \to \infty$ のとき、ペーデ・直交近似の行系列の極はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 関数 $F$ の特異点の位置は、そのペーデ・直交近似の極の漸近的分布から回復可能か？
• RQ3 ファブリー、ド・モンテーユス、ブスラエフ、シュエチンの古典的定理は、一般のコンパクト集合上での直交近似の設定へどの程度拡張可能か？
• RQ4 共形写像 $\Phi$ は、近似の収束領域および特異点の位置の特徴づけにおいて、どのような役割を果たすか？
• RQ5 ペーデ・直交近似 $[n/m]_F^\mu$ が一意に定まる条件は何か？また、これは測度 $\mu$ の構造とどのように関係するか？

主な発見

• ペーデ・直交近似 $[n/m]_F^\mu$ の極は $n \to \infty$ のとき、$F$ の特異点に収束する。その極限分布は、$w$-平面上における変換関数 $f(w) = F(\Psi(w))$ の極によって決定される。
• 直交級数の収束半径 $\rho_0(F)$ は $\rho_0(F) = (\limsup |F_n|^{1/n})^{-1}$ を満たし、$D_{\rho_0(F)}$ で一様収束する。
• 固定された $m$ に対して、$n \to \infty$ のとき $[n/m]_F^\mu$ の極は $w$-平面上の $f(w)$ の $m$ 個の極（重複度を含む）に収束する。これにより逆定理が確立される。
• 近似の分母 $Q_{n,m}^\mu(z)$ は、$n$ が十分に大きいとき、行列式 $\Delta_{n,m}(F,\mu) \neq 0$ であれば一意に定まる。これはToeplitz型行列式の漸近解析により確認される。
• $Q_{n,m}^\mu(z)$ の漸近的挙動は、$\Psi$ による特異点の逆像のバーチャンデル・行列式に支配され、極が $\lambda_j = \Psi(\tau_j)$ に収束することを示し、ここで $\tau_j$ は $f(w)$ の零点である。
• 本手法により古典的結果が一般化される：直接定理はファブリーの定理を拡張し、逆定理はド・モンテーユスおよびブスラエフの定理を一般のコンパクト集合上での直交近似へと拡張する。