[論文レビュー] Determining the automorphism group of a hyperelliptic curve

Tony Shaska|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、双曲的曲線の式の正規分解から得られる二面体不変量を用いて、特性が0の代数的に閉じた体上の双曲的曲線の自己同型群を決定する実用的な手法を提示する。この手法により、非線形系を解き、不変量理論的条件を適用することで、$A_4$、$S_4$、$A_5$ までの自己同型群の分類が可能となる。

ABSTRACT

In this note we discuss techniques for determining the automorphism group of a genus $g$ hyperelliptic curve $\X_g$ defined over an algebraically closed field $k$ of characteristic zero. The first technique uses the classical $GL_2 (k)$-invariants of binary forms. This is a practical method for curves of small genus, but has limitations as the genus increases, due to the fact that such invariants are not known for large genus. The second approach, which uses dihedral invariants of hyperelliptic curves, is a very convenient method and works well in all genera. First we define the normal decomposition of a hyperelliptic curve with extra automorphisms. Then dihedral invariants are defined in terms of the coefficients of this normal decomposition. We define such invariants independently of the automorphism group $\Aut (\X_g)$. However, to compute such invariants the curve is required to be in its normal form. This requires solving a nonlinear system of equations. We find conditions in terms of classical invariants of binary forms for a curve to have reduced automorphism group $A_4$, $S_4$, $A_5$. As far as we are aware, such results have not appeared before in the literature.

研究の動機と目的

• 特性が0の代数的に閉じた体上の種数 $g \geq 2$ の双曲的曲線の自己同型群を効果的に計算するアルゴリズムの開発。
• 大規模な種数に対して既知でない古典的 $GL_2(k)$-不変量の制限を克服するため、より一般的かつスケーラブルな手法の導入。
• 双曲的曲線の自己同型群が $A_4$、$S_4$、$A_5$ であるための必要十分条件を不変量の観点から提供し、文献における空白を埋める。
• 特に $A_4$、$S_4$、$A_5$ などの群 $G$ に対して、双曲的曲線のモジュライ空間内での領域 $ olimits\mathcal{L}_g^G$ の明示的計算を可能にする。
• 二面体不変量を用いた曲線のモジュライ体の決定といった計算的応用を支援する。

提案手法

• 双曲的曲線の正規分解を、$Y^2 = F(X^s)$ または $Y^2 = X \cdot F(X^s)$ の形として定義する。ここで $s$ はこのような分解の最小次数である。
• 二面体不変量 $u_i^j$ を、正規形における係数の対称関数として定義する。$1 \leq i \leq \delta$、$1 \leq j \leq \lfloor (\delta+1)/2 \rfloor$ に対して、$u_i^j = a_j^{\delta-i+1} a_i + a_{\delta-j}^{\delta-i+1} a_{\delta-i+1}$ で与えられる。
• 二面体不変量のタプル $\mathfrak{U}^j = (u_1^j, \dots, u_m^j)$ を用いて、自己同型群の構造を特徴付ける。
• まず正規分解の有無をチェックするアルゴリズムを適用する。もし正規分解が存在しない場合、自己同型群は $\mathbb{Z}_2$ である。
• もし $s > 2$ で $s$ が奇数の場合、群は $\mathbb{Z}_{2s}$ である。そうでない場合、二面体不変量を用いて既知の関係式を適用して完全な群を特定する。
• 計算された不変量を既知の多項式的条件 $\mathcal{L}_g^G$ と照合することで、$\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_g)$ の同型型を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的曲線の式の係数にどのような条件が成立すれば、その縮約自己同型群が $A_4$、$S_4$、$A_5$ になるか？
• RQ2 双曲的曲線の正規分解をアルゴリズム的に特定することで、自己同型群の計算を容易にするにはどうすればよいか？
• RQ3 古典的不変量が利用できない場合でも、二面体不変量を用いてすべての種数における自己同型群を分類できるか？
• RQ4 自己同型群が $A_4$、$S_4$、$A_5$ であるような曲線を特徴付けるために必要な多項式的条件は何か？その不変量に基づく必要十分条件は？
• RQ5 正規形から得られる二面体不変量を用いて、双曲的曲線のモジュライ体をどのように計算できるか？

主な発見

• 種数2の曲線において、正規形 $Y^2 = X^6 + a_1X^4 + a_2X^2 + 1$ では、二面体不変量 $u_1 = a_1^3 + a_2^3$ と $u_2 = 2a_1a_2$ が自己同型群を完全に特徴付ける。
• 種数2において、$\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_2) \cong V_6$ であるための必要十分条件は、$(u_1, u_2) = (0,0)$ または $(6750, 450)$ であること。
• 種数2において、$\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_2) \cong GL_2(3)$ であるための必要十分条件は、$(u_1, u_2) = (-250, 50)$ であること。
• 種数2において、$\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_2) \cong D_6$ であるための必要十分条件は、$u_2^2 - 220u_2 - 16u_1 + 4500 = 0$ を満たすことであり、$V_6$ や $GL_2(3)$ に還元される特別な値は除く。
• 種数2において、$\operatorname{Aut}(\mathcal{X}_2) \cong D_4$ であるための必要十分条件は、$2u_1^2 - u_2^3 = 0$ を満たすことであり、$V_6$、$GL_2(3)$、その他の既知のケースに還元される値は除く。
• この手法はすべての種数 $g \geq 2$ に一般化可能であり、正規分解と二面体不変量を用いることで、非線形系が解ける限り、大規模な $g$ に対しても自己同型群の計算が可能となる。