[論文レビュー] Determining the full weight distribution of any irreducible cyclic code over any finite field of dimension two

Gerardo Vega|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限体上の非可約巡回符号が次元1または2である場合、その完全な重み分布が符号長のみから直接計算可能であることを特定する。既知の1重みおよび半原始的2重み非可約巡回符号の特徴付けを活用することで、体のサイズと符号長を用いた簡単なgcd基準に基づき、符号の重み分布を直接算出可能であることを示している。

ABSTRACT

In coding theory, a very interesting problem (but at the same time, a very difficult one) is to determine the weight distribution of a given code. This problem is even more interesting for cyclic codes, and this is so, mainly because they possess a rich algebraic structure, which can be utilized in a variety of ways. For example, in Engineering Telecommunications, this structure is commonly employed to design very efficient coding and decoding algorithms. In this note, we are going to use a characterization of all semiprimitive two-weight irreducible cyclic codes over any finite field, recently presented in [8], in order to determine the full weight distribution of any irreducible cyclic code over any finite field of dimension two. In fact, the relevance of our results is that by means of them we can actually directly determine the full weight distribution of any irreducible cyclic code, of dimension one or two, just by knowing its length.

研究の動機と目的

• 非可約巡回符号の完全な重み分布を特定する長年の課題を解決すること。特に低次元における課題に焦点を当てる。
• 非可約巡回符号の複雑な代数的構造のため、重み分布を計算することが困難であるという問題に取り組むこと。
• 次元1および2における重み分布の完全な分類と明示的な計算手法を提供すること。
• 符号長と完全な重み分布の直接的な関連を確立し、生成行列や検査行列の詳細な解析を不要にする。
• 従来の1重みおよび半原始的2重み符号に関する結果を統合し、単一で実用的な枠組みに拡張すること。

提案手法

• 先行研究における1重み非可約巡回符号の特徴付け（定理1）を用いる。重み分布は条件 $ u = \text{gcd}(q+1, a) = 1 $ によって決定される。
• 半原始的2重み非可約巡回符号の特徴付け（定理2）を適用する。これは $ u = \text{gcd}(q+1, a) > 2 $、$ f = \text{ord}_u(p) $ が偶数であり、かつ $ p^{f/2} \equiv -1 \pmod{u} $ を満たす必要がある。
• 符号長 $ n $ から導かれる重要なパラメータ $ u = \gcd(q+1, \frac{q^2 - 1}{n}) $ を導入し、生成多項式や検査多項式を知らなくても符号の種別が可能になる。
• 表Iの半原始的2重み符号の重み分布の公式を用いる。重みは $ \frac{n q^{k/2 - 1}}{\Delta}(q^{k/2} \pm (-1)^s (u-1)) $ であり、頻度は $ u $ に依存する。
• 次元2の場合、$ u = 1 $ であれば1重み符号、$ 2 \leq u < q+1 $ であれば半原始的2重み符号であることが示され、後者は既知の重み母関数を持つ。
• コロナリー1を導出し、$ u = \gcd(q+1, \frac{q^2 - 1}{n}) $ を用いることで、符号長 $ n $ のみから完全な重み分布を直接決定可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元1または2の任意の非可約巡回符号の完全な重み分布を、符号長のみから決定できるか？
• RQ2 符号長と体のサイズにどのような条件が、その符号が1重みまたは半原始的2重みであるかを決定するか？
• RQ3 生成多項式の明示的知識がなくても、重み分布を計算する統一的で計算効率の良い手法が存在するか？
• RQ4 1重みおよび半原始的2重み符号の既知の特徴付けが、次元2における完全な分類にどのように拡張されるか？
• RQ5 重み分布が、符号長と体のサイズから導かれる1つのパラメータで表現可能か？

主な発見

• 有限体上の次元1または2の非可約巡回符号は、$ u = 1 $ の場合1重み符号、$ 2 \leq u < q+1 $ の場合半原始的2重み符号のいずれかに属する。
• 次元1の場合、符号は反復符号に同値であり、重み母関数は $ 1 + (q-1)z^n $ で、非ゼロ重みは $ n $ である。
• $ u = 1 $ の場合、符号は2重み符号であり、非ゼロ重みは $ \frac{n}{q+1}q $、重み母関数は $ 1 + (q^2 - 1)z^{\frac{nq}{q+1}} $ である。
• $ 2 \leq u < q+1 $ の場合、重み母関数は $ 1 + \frac{q^2 - 1}{u}z^{\frac{n(q+1 - u)}{q+1}} + \frac{(q^2 - 1)(u - 1)}{u}z^n $ であり、2つの異なる非ゼロ重みを持つ。
• $ u = q + 1 $ の場合、符号は次元1の1重み符号であり、重み母関数は $ 1 + (q - 1)z^n $ で、反復符号に同値である。
• コロナリー1により、符号長 $ n $ のみを用いて完全な重み分布を直接計算可能であり、例2（$ q = 27 $、$ n = 104 $）では $ 1 + 104z^{78} + 624z^{104} $ が得られる。