[論文レビュー] Determining whether certain affine Deligne-Lusztig sets are empty

Daniel C. Reuman|ArXiv.org|Nov 27, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、非アーキメデス的局域体上の分岐再帰的群に対して、拡張されたアフィンワイル群、ブリュハット＝ティツスの建物、およびイワホリ部分群を含む組み合わせ的・幾何的道具を用いて、アフィンデリーニュ＝ルスティッグ集合 $X_w(b\sigma)$ の空でない性質を決定する。主な貢献は、ワイル群の元を跨いで空でない性質を伝搬可能にする一連の上への写像および不変性の結果であり、$SL_3$、$Sp_4$、および関連群の解集合を完全またはほぼ完全に特定可能にする。

ABSTRACT

Let F be a non-archimedean local field, let L be the maximal unramified extension of F, and let fr be the Frobenius automorphism. Let G be a split connected reductive group over F, and let B(1) be the Bruhat-Tits building associated to G(F). We know that fr acts on G(L) with fixed points G(F). Let I be the Iwahori associated to a chamber in B(1). We have the relative position map, inv, from G(L)/I x G(L)/I to the extended affine Weyl group, W_e of G. If w is in W_e and b is in G(L), then the affine Deligne-Lusztig set Xw(b fr) is {x in G(L)/I : inv(x,b fr(x)) = w}. This paper answers the question of which Xw(b fr) are non-empty for certain G and b.

研究の動機と目的

• どの $w \in \tilde{W}$ および $b \in G(L)$ に対してアフィンデリーヌュ＝ルスティッグ集合 $X_w(b\sigma)$ が空でないかを特定すること。
• 特にフロベニウス自己同型と拡張されたアフィンワイル群の作用を含む、$X_w(b\sigma)$ の構造的性質を確立すること。
• 上への写像と対称性を用いて、ワイル群の元を跨いで空でない性質を伝搬するための道具を開発すること。
• これらの道具を用いて、$SL_3$、$Sp_4$、$GL_n$ のような特定の群の解集合を計算または特徴付けること。
• ランク 1 や 2 を超える他の分岐再帰的群への結果の一般化すること。

提案手法

• 相対的位置写像 $\mathop{\mathrm{inv}}: G(L)/I \times G(L)/I \to \tilde{W}$ を用いて、$X_w(b\sigma)$ を $\mathop{\mathrm{inv}}(x, b\sigma(x)) = w$ を満たす $xI$ の集合として定義する。
• フロベニウス自己同型 $\sigma$ の作用を用いて、$G(L)$-作用と $G(F)$-固定点を関連付ける。
• $G(L)$ のためのブリュハット＝ティツスの建物 $\mathcal{B}_\infty$ とイワホリ部分群 $I$ を用いて、$G(L)/I$ の幾何をモデル化する。
• 標準的最小ギャラリー（SMGs）と合成ギャラリーを用いて、建物内の経路をモデル化し、$X_w(b\sigma)$ を分析する。
• リトラクション写像と平行四辺形構成を用いたラポポールとコットヴィッツの方法を適用し、解集合の上界を生成する。
• 回転対称性（例：$SL_3$ における $\mathbb{Z}/3$-作用）や上への定理を用いて、チャネルを跨いで空でない性質を伝搬する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $w \in \tilde{W}$ および $b \in G(L)$ に対してアフィンデリーヌュ＝ルスティッグ集合 $X_w(b\sigma)$ が空でないか？
• RQ2 反射 $s$ に対して、$X_w(b\sigma)$ の空でない性質が $X_{sws}(b\sigma)$ や $X_{sw}(b\sigma)$ の空でない性質とどのように関係するか？
• RQ3 幾何的および群論的不変性を用いて、ワイル群の元を跨いで空でない性質を伝搬できるか？
• RQ4 $SL_3$、$Sp_4$、$GL_n$ に対して、$b=1$ または $b$ が非自明な場合の $X_w(b\sigma)$ の構造は何か？
• RQ5 ラポポールとコットヴィッツの方法を、$X_w(b\sigma)$ の上界および下界を構成するためにどの程度適応できるか？

主な発見

• $SL_3$ および $b=1$ の場合、不変性および上への写像の結果を適用した後、分類されていないチャンネルが僅か数個を除き、解集合はほぼ完全に特定されている。
• $l(w) < l(sws)$ のとき、$X_w(b\sigma) \to X_{sws}(b\sigma) \cup X_{sw}(b\sigma)$ なる上への写像 $\Gamma$ が存在し、空でない性質の伝搬を可能にする。
• $l(sws) > l(w)$ のとき、$X_{sws}(b\sigma)$ から $X_w(b\sigma) \cup X_{ws}(b\sigma)$ への上への写像が存在し、情報の逆伝搬を可能にする。
• $SL_3$ では、$\mathbb{Z}/3$-作用による回転対称性のおかげで、1つのチャンネルにおける空でない性質が3つの対称的なチャンネルへ拡張可能である。
• $Sp_4$ では、合成ギャラリーを用いて解集合の推測的上界が構成され、$\sigma$-共役類とギャラリー内の選択点を用いて空でない性質が分析されている。
• ラポポールとコットヴィッツの方法により、$X_w(b\sigma)$ の上界が計算しやすく得られ、不変性と組み合わせることで、解集合に対する強い制約が得られる。