[論文レビュー] Determinism in Free Bosons

Gerard ’t Hooft|ArXiv.org|Apr 9, 2001

Quantum Mechanics and Applications被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、自由ボソンの量子状態を、グローバルゲージ群の下での不変な観測可能性に一対一で写像する、決定論的古典場理論を提案する。ゲージ変換によって位相のみのダイナミクスに制限することで、負のエネルギー状態を含まない、量子化された自由ボーズ場のヒルベルト空間とハミルトニアンを再現し、連続極限において決定論的古典系と量子理論の完全な同等性を確立する。

ABSTRACT

It is shown how to map the quantum states of a system of free Bose particles one-to-one onto the states of a completely deterministic model. It is a classical field theory with a large (global) gauge group.

研究の動機と目的

• 自由ボソンの量子状態と決定論的古典場配置との間の一対一対応を確立すること。
• 古典的・量子的系の位相空間次元の不一致を解消するために、グローバルゲージ不変性条件を導入すること。
• 決定論的枠組みにおいて、唯一観測可能な自由度が位相、特にフーリエモードの位相であることを示すこと。
• 結果として得られる決定論的モデルが、自由ボーズ場の完全な量子力学的ヒルベルト空間とハミルトニアンを再現すること。
• ゲージ不変性によって物理的でない負のエネルギー成分を除去し、量子理論と整合性を保つこと。

提案手法

• 独立な初期場と時間微分値を持つ古典的クライン=ゴルドン場を導入し、量子系よりも2倍大きな位相空間を形成する。
• 実対称核 $ K_1 $ と反対称核 $ K_2 $ でパrameter化されるグローバルゲージ群を定義し、クライン=ゴルドン方程式を保存する。
• 変換が群を形成し、有効位相空間次元を低下させるために、$ K_1(\boldsymbol{y}) = K_1(-\boldsymbol{y}) $、$ K_2(\boldsymbol{y}) = -K_2(-\boldsymbol{y}) $ の制約を課す。
• これらの変換に対して不変な関数的量として観測可能性を定義し、それらがフーリエモード $ \tilde{\boldsymbol{\rho}}(\boldsymbol{k},t) $ の位相のみに対応し、振幅依存性を効果的に除去する。
• 分解 $ \hat{\varphi}(\boldsymbol{k},t) = A(\boldsymbol{k})e^{i\omega t} + B(\boldsymbol{k})e^{-i\omega t} $ を用い、ゲージ変換 $ A \to R_1 A $、$ B \to R_2 B $ を定義し、$ A $ と $ B $ の位相のみが観測可能であるようにする。
• ゲージパrameter $ \hat{K}_1(\boldsymbol{k}) $、$ \hat{K}_2(\boldsymbol{k}) $ から式 (1.5) の運動量空間変換を導出し、不変性下での古典的場の時間発展と同等であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定論的古典場理論は、ヒルベルト空間とハミルトニアンを含め、自由ボーズ場の完全な量子力学的構造を再現できるか？
• RQ2 より大きな古典的位相空間は、どのようにして量子ヒルベルト空間の次元に一致させるか？
• RQ3 ゲージ不変性が、物理的観測可能性として位相自由度のみを選択する役割を果たすか？
• RQ4 決定論的モデルでは通常許容されるが、負のエネルギー状態がどのようにして存在しないようにされるか？
• RQ5 有限 $ N $ からの離散的円運動の連続極限は、調和振動子ハミルトニアンを再現し、それによって完全な自由ボーズ場理論を再現できるか？

主な発見

• 式 (1.3) のゲージ不変性と制約 (1.4) を用いた古典的場理論は、有効位相空間を量子力学的ヒルベルト空間の次元に一致させる。
• フーリエモード $ \hat{\varphi}(\boldsymbol{k},t) $ の位相のみが、それらの振幅とは異なり、グローバルゲージ群の下で不変であるため、観測可能である。
• 連続極限におけるモデルのハミルトニアンは調和振動子ハミルトニアンと一致し、量子エネルギー準位を再現する。
• ゲージ不変性条件は、物理的でない負のエネルギー成分を効果的に除去し、量子理論と整合性を保つ。
• 古典的から量子状態への写像は一対一かつユニタリであり、決定論的古典モデルと量子化された自由ボーズ場理論の完全な同等性を確立する。
• この構成は、1つの調和振動子から無限個の振動子（自由ボーズ場）への一般化が可能であり、ゲージ群が各フーリエモードに対して独立に作用する。