[論文レビュー] Deterministic and random features for large-scale quantum kernel machine

Kouhei Nakaji, Hiroyuki Tezuka+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、大規模な量子カーネルマシンのスケーラビリティと一般化性能を向上させる決定的および確率的特徴マップを提案する。低次元の特徴ベクトルによる近似により、還元密度行列（RDM）に基づく量子カーネルが、保証された誤差バウンドを伴って近似可能であることを示し、二次的な古典的コストというスケーラビリティの問題を克服するとともに、一般化性能を維持する。1,000～10,000件のサンプルを含むデータセットを用いた実験により検証された。

ABSTRACT

Quantum machine learning (QML) is the spearhead of quantum computer applications. In particular, quantum neural networks (QNN) are actively studied as the method that works both in near-term quantum computers and fault-tolerant quantum computers. Recent studies have shown that supervised machine learning with QNN can be interpreted as the quantum kernel method (QKM), suggesting that enhancing the practicality of the QKM is the key to building near-term applications of QML. However, the QKM is also known to have two severe issues. One is that the QKM with the (inner-product based) quantum kernel defined in the original large Hilbert space does not generalize; namely, the model fails to find patterns of unseen data. The other one is that the classical computational cost of the QKM increases at least quadratically with the number of data, and therefore, QKM is not scalable with data size. This paper aims to provide algorithms free from both of these issues. That is, for a class of quantum kernels with generalization capability, we show that the QKM with those quantum kernels can be made scalable by using our proposed deterministic and random features. Our numerical experiment, using datasets including $O(1,000) \sim O(10,000)$ training data, supports the validity of our method.

研究の動機と目的

• 近い将来の量子機械学習における量子カーネル法（QKM）のスケーラビリティと一般化性能の制限を克服すること。
• 一般化能力を持つ量子カーネル（QKGC）を特定・分析し、特に還元密度行列（RDM）に基づくものに焦点を当てる。
• 計算コストを低減する特徴ベースの近似法（DQFおよびRQF）を提案し、QKMを線形問題に変換する。
• RDMベースのQKGCが特徴マップを用いて効率的に近似可能であることを示し、大規模応用を可能にする。
• 提案された特徴マップの近似誤差と計算複雑度の低減について理論的保証を提供する。

提案手法

• 一般化能力を持つ量子カーネル（QKGC）を定義し、RDMベースのカーネルを実用的クラスとして焦点化する。
• 内積を用いてRDMベースの量子カーネルを近似する低次元特徴マップとして、決定的量子特徴（DQF）を導入する。
• DQFの確率的バージョンとして、制御された誤差バウンドを伴う効率的なサンプリングを可能にする確率的量子特徴（RQF）を提案する。
• 理論的分析により、DQFおよびRQFが元のRDMカーネルを保証された誤差バウンドで近似できることを証明し、一般化性能とスケーラビリティを確保する。
• 特徴マップを用いて、カーネルリッジ回帰をO(MD²)の複雑度を持つ線形モデルに変換する。ここでDは特徴次元、Mはデータポイント数を表す。
• ワインの品質およびmagic04データセットを用いた数値実験により、Nystrom法と比較して本手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化能力を持つ量子カーネル法は、大規模データセットに対してもスケーラブルに可能か？
• RQ2 RDMベースの量子カーネルは、理論的誤差バウンドを伴う低次元特徴近似に適しているか？
• RQ3 古典的カーネル近似法（例：Nystrom法）と比較して、決定的および確率的量子特徴（DQFおよびRQF）の性能と効率はいかがなっているか？
• RQ4 QKGCの特徴ベース表現は、量子優位性を示す新しい量子カーネル法の設計原則として機能できるか？
• RQ5 埋め込みパラメータなどの特徴マップパラメータのチューニングが、得られる機械学習モデルの性能に与える影響は何か？

主な発見

• 提案された決定的および確率的量子特徴（DQFおよびRQF）は、保証された誤差バウンドを伴ってRDMベースの量子カーネルを効果的に近似できる。
• 得られる機械学習モデルの計算コストは、O(M³)からO(MD²)に低減され、O(1,000)からO(10,000)件のサンプルを含むデータセットへのスケーラビリティが実現された。
• 数値実験の結果、DQFはワインの品質およびmagic04データセットにおける回帰および分類タスクでNystrom法を上回る性能を示した。
• RQFは同様のデータセットではNystrom法を上回らなかったが、将来的なチューニングと最適化のための柔軟性を提供した。
• 理論的分析により、還元密度行列（RDM）に基づく量子カーネルが、QKGCの主な実用的クラスであることが確認された。他の構成（例：還元観測量）はほぼ同等または量子優位性を欠いている。
• 特徴表現フレームワークは、新たな設計指針を提供する：新たなQKGCは、スケーラビリティと一般化を確保するため、特徴ベクトルとして表現可能でなければならない。