[論文レビュー] Deterministic Approximation for Submodular Maximization over a Matroid in Nearly Linear Time

Kai Han, Zongmai Cao+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 43被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、マトロイド制約下における非単調サブモジュラ最大化のための、新たな決定的アルゴリズムであるTwinGreedyおよびTwinGreedyFastを提案する。2つの候補解集合を並列に構築する同時グリーディ探索フレームワークを導入することで、O(nr)時間で1/4の近似比を達成し、ほぼ線形時間O((n/ε)log(r/ε))で(1/4−ε)の近似比を達成する。これは、近似比と効率の両面で、先行する決定的手法を上回っている。

ABSTRACT

We study the problem of maximizing a non-monotone, non-negative submodular function subject to a matroid constraint. The prior best-known deterministic approximation ratio for this problem is $\frac{1}{4}-ε$ under $\mathcal{O}(({n^4}/ε)\log n)$ time complexity. We show that this deterministic ratio can be improved to $\frac{1}{4}$ under $\mathcal{O}(nr)$ time complexity, and then present a more practical algorithm dubbed TwinGreedyFast which achieves $\frac{1}{4}-ε$ deterministic ratio in nearly-linear running time of $\mathcal{O}(\frac{n}ε\log\frac{r}ε)$. Our approach is based on a novel algorithmic framework of simultaneously constructing two candidate solution sets through greedy search, which enables us to get improved performance bounds by fully exploiting the properties of independence systems. As a byproduct of this framework, we also show that TwinGreedyFast achieves $\frac{1}{2p+2}-ε$ deterministic ratio under a $p$-set system constraint with the same time complexity. To showcase the practicality of our approach, we empirically evaluated the performance of TwinGreedyFast on two network applications, and observed that it outperforms the state-of-the-art deterministic and randomized algorithms with efficient implementations for our problem.

研究の動機と目的

• マトロイド制約下での非単調サブモジュラ最大化の決定的近似比を、従来の最高の1/4−εより向上させること。
• この問題に対する決定的アルゴリズムの時間計算量を低減すること、特にほぼ線形実行時間の達成を目指すこと。
• 大規模データセットにスケーリング可能な、実用的で効率的なアルゴリズムを設計し、強固な理論的保証を維持すること。
• p-セットシステムを含むより一般的な制約へとフレームワークを拡張し、証明可能な性能バインディングを維持すること。

提案手法

• 2つの互いに素な候補解集合S₁とS₂を逐次的ではなく並列に構築する、画期的な「同時グリーディ探索」フレームワークを導入する。
• BadanidiyuruとVondrák（2014）のインスピレーションを受けて、低利得要素をプルーニングすることでほぼ線形時間計算量を達成するしきい値処理技術を用いる。
• 最適解Oの要素をS₁ ∪ S₂の要素にマッピングすることで、要素を分類し、利得損失を制限し、1/4の近似保証を可能にする。
• TwinGreedyFastを最適化されたバージョンとして設計し、1/4−εの近似比を維持しながら時間計算量をO((n/ε)log(r/ε))に削減する。
• フレームワークがp-セットシステム制約へ一般化可能であることを証明し、同じ時間計算量で1/(2p+2)−εの近似比を達成することを示す。
• 実世界の応用、例えばソーシャルネットワーク監視やマルチプロダクトバイラルマーケティングへの実装と評価を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マトロイド制約下での非単調サブモジュラ最大化の決定的近似比を、1/4−εから1/4に向上させることは可能か？
• RQ2 ほぼ線形時間O((n/ε)log(r/ε))で1/4−εの決定的近似比を達成することは可能か？
• RQ3 同時グリーディ探索フレームワークは、効率性と近似品質の両面で、従来の繰り返しグリーディ探索や局所探索手法を上回ることができるか？
• RQ4 提案されたフレームワークは、p-セットシステムのようなより一般的な制約へ一般化可能であり、強力な理論的バインディングを維持できるか？
• RQ5 実際の応用において、新しいアルゴリズムは最先端の決定的および確率的アルゴリズムと比較してどのように性能を発揮するか？

主な発見

• TwinGreedyは、O(nr)時間計算量で、マトロイド制約下での非単調サブモジュラ最大化に対して決定的1/4の近似比を達成し、従来の最高の1/4−εを上回っている。
• TwinGreedyFastは、ほぼ線形時間O((n/ε)log(r/ε))で(1/4−ε)の決定的近似比を達成し、この近似比を達成する最速の既知のアルゴリズムである。
• 同時グリーディ探索フレームワークにより、2つの候補集合の相互カバレッジを活用することで、利得損失の境界をより厳密に制御でき、非制約サブモジュラ最大化のサブルーチンを必要としなくなる。
• ソーシャルネットワーク監視およびマルチプロダクトバイラルマーケティングにおける実験的評価では、TwinGreedyFastは最先端のアルゴリズムよりも10倍以上高速に実行され、解の品質は同等またはそれを上回った。
• フレームワークはp-セットシステム制約へ一般化可能であり、同じほぼ線形時間計算量で1/(2p+2)−εの近似比を達成する。
• TwinGreedyFastは、実世界の応用において、実行時間と利得の両面で決定的および確率的アルゴリズムを上回り、実用的優位性を示した。