[論文レビュー] Deterministic Compressed Sensing Matrices from Additive Character Sequences

Nam Yul Yu|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2010

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限体上の加法的特徴関数列を用いた決定的構成により、$N = K^2$ において漸近的に最適なコherenceを達成する圧縮センシング行列の構築を提案する。線形フィードバックシフトレジスタ（LFSRs）を用いた実装が可能であり、信頼性の高いスパース信号再構成がマッチング pursuit を用いて達成される。ノイズなしおよびノイズありの両条件において、ランダムな部分フーリエ行列を上回り、特にスパース度 $s \leq 7$ の範囲で優れた性能を示す。

ABSTRACT

Compressed sensing is a novel technique where one can recover sparse signals from the undersampled measurements. In this correspondence, a $K imes N$ measurement matrix for compressed sensing is deterministically constructed via additive character sequences. The Weil bound is then used to show that the matrix has asymptotically optimal coherence for $N=K^2$, and to present a sufficient condition on the sparsity level for unique sparse recovery. Also, the restricted isometry property (RIP) is statistically studied for the deterministic matrix. Using additive character sequences with small alphabets, the compressed sensing matrix can be efficiently implemented by linear feedback shift registers. Numerical results show that the deterministic compressed sensing matrix guarantees reliable matching pursuit recovery performance for both noiseless and noisy measurements.

研究の動機と目的

• ランダム行列の高コストおよび大容量のストレージを回避する決定的圧縮センシング行列の構築を目的とする。
• 有限体上の加法的特徴関数列を活用し、コherenceおよび制限等長性性質（RIP）に関する理論的保証を確保する。
• 小さなアルファベットを用いた線形フィードバックシフトレジスタ（LFSRs）による効率的なハードウェア実装を可能とする。
• ノイズなしおよびノイズありの測定条件下でも、信頼性の高いスパース信号再構成性能を示す。
• 決定的行列を用いた一意なスパース信号再構成のためのスパース度に関する十分条件を提供する。

提案手法

• 有限体 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上のトレース関数 $\mathrm{Tr}_1^m(x)$ を用いて、複素数列 $\chi(x) = \exp\left(j \frac{2\pi}{p} \mathrm{Tr}_1^m(x)\right)$ を生成し、$N = K^2$ および $K = p^m$ の条件下で、$K \times N$ 測定行列の列ベクトルとして用いる。
• Weilの補題を用いて、$N = K^2$ の場合にコherenceが漸近的に最適であることを証明し、$\mu \leq \frac{2}{\sqrt{p^m}}$ を得る。
• Gram行列 $\mathbf{A}^*\mathbf{A}$ の固有値分布を解析することで、RIPの統計的性質を評価し、ガウスランダム行列と比較して良好な挙動を示すことを示す。
• 加法的特徴関数列の線形構造を活用し、線形フィードバックシフトレジスタ（LFSRs）を用いて行列を効率的に実装する。
• 信号再構成には、最大100回の反復を許容するマッチング pursuit を用い、成功の定義をノイズなしでは $\|\mathbf{x} - \widehat{\mathbf{x}}\|_2^2 < 10^{-4}$、ノイズありでは $< 10^{-2}$ とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上の加法的特徴関数列を用いて、理論的に最適なコherenceを有する決定的圧縮センシング行列を構築可能か？
• RQ2 提案された決定的行列を用いた $s$-スパース信号の一意再構成のためのスパース度 $s$ に関する十分条件は何か？
• RQ3 決定的行列の制限等長性性質（RIP）の固有値統計は、ランダム行列と比較してどのように異なるか？
• RQ4 小さなアルファベットを用いた線形フィードバックシフトレジスタ（LFSRs）を用いて、提案された行列を実用的に効率的に実装可能か？
• RQ5 ノイズありおよびノイズなしの両条件下で、決定的行列のマッチング pursuit 再構成性能は、ランダムに選択された部分フーリエ行列と比較してどのように異なるか？

主な発見

• 決定的圧縮センシング行列は、$N = K^2$ の場合に漸近的に最適なコherenceを達成し、$\mu \leq \frac{2}{\sqrt{p^m}}$ で有界である。
• $K = 81$ および $N = 6561$ の場合、$s \leq 4$ では99%以上の再構成成功率、$s \leq 7$ では95%以上の再構成成功率を達成しており、理論的十分条件が保守的であることを示している。
• ノイズなしおよびノイズありの両条件下で、ランダムに選択された部分フーリエ行列を上回るマッチング pursuit 再構成性能を示している。
• ノイズが存在する状況でも、高SNR条件下で安定したノイズ耐性の高い再構成性能を維持しており、成功の定義は $\|\mathbf{x} - \widehat{\mathbf{x}}\|_2^2 < 10^{-2}$ である。
• Gram行列 $\mathbf{A}^*\mathbf{A}$ の固有値統計は、決定的行列がガウスランダム行列よりも優れたRIP挙動を示していることを示している。
• 各列が線形再帰を介して生成されるため、LFSRsを用いた効率的実装が可能であり、小さなアルファベットサイズ（例：$\mathbb{F}_3$）で低複雑度のハードウェア実装が可能である。