[論文レビュー] Deterministic Construction of Compressed Sensing Matrices using BCH Codes

Arash Amini, Farrokh Marvasti|ArXiv.org|Aug 5, 2009

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、二値BCH符号を用いた決定的構成により、符号語内のゼロを−1に置き換えて±1行列を形成する圧縮センシング行列の構築を提案する。この手法は、スパースレベルk < 2^jに対して正確な制限等長性性質（RIP）を達成し、計算複雑性が低いマッチング Pursuitを用いてkスパース信号の正確な復元を可能にするとともに、Devoreのスキームを用いて{0, ±1}行列への拡張も可能となる。

ABSTRACT

In this paper we introduce deterministic $m imes n$ RIP fulfilling $\pm 1$ matrices of order $k$ such that $\frac{\log m}{\log k}\approx \frac{\log(\log_2 n)}{\log(\log_2 k)}$. The columns of these matrices are binary BCH code vectors that their zeros are replaced with -1 (excluding the normalization factor). The samples obtained by these matrices can be easily converted to the original sparse signal; more precisely, for the noiseless samples, the simple Matching Pursuit technique, even with less than the common computational complexity, exactly reconstructs the sparse signal. In addition, using Devore's binary matrices, we expand the binary scheme to matrices with $\{0,1,-1\}$ elements.

研究の動機と目的

• スパース信号復元に適した制限等長性性質（RIP）を満たす決定的圧縮センシング行列の開発。
• 二値BCH符号の構造を活用し、証明可能なRIP保証を持つ±1センシング行列の構築。
• 標準的手法よりも計算複雑性が低いマッチング Pursuitを用いてkスパース信号の正確な再構成を可能にする。
• Devoreのスキームを用いて二値±1構成を{0, ±1}要素を有する行列に拡張し、柔軟性を向上させる。

提案手法

• 二値BCH符号語内のゼロを−1に置き換えることで、m×nセンシング行列を構築し、±1行列を生成する。
• コード長のほぼ半分に近い最小距離を持つBCH符号を用いることで、良好なコherenceおよびRIP特性を確保する。
• 制限等長性性質（RIP）の条件を適用：すべてのkスパースベクトルxに対して、(1−δk)‖x‖² ≤ ‖Φx‖² ≤ (1+δk)‖x‖² が成り立つ。
• 連続するa+1個のゼロを含まない二値系列の再帰的数え上げを用い、有効な符号語の数を上限付け、成長率を導出する。
• 有効な符号語の数τ_b^(a)がO(γ^b)として成長することを確立し、ここでγはz^{a+1}−z^a−1=0の最大根である。この性質により、十分な行列次元が保証される。
• ±1行列をDevoreのスキームと組み合わせ、{0, ±1}行列を生成し、RIPを維持するとともに、実用的なサンプリングを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BCH符号を体系的に用いて、kスパース信号に対して正確なRIPを満たす決定的圧縮センシング行列を構築可能か？
• RQ2 このような決定的構成において、行列次元mとn、およびスパースレベルkの間の達成可能なトレードオフは何か？
• RQ3 マッチング Pursuitは、これらの行列を用いて測定値からスパース信号を、計算複雑性が標準的手法より低い状態で正確に復元可能か？
• RQ4 連続する長いゼロ列を含まない有効な符号語の成長率は、行列次元およびRIP定数にどのように影響するか？
• RQ5 ±1行列構成をゼロ要素を含むものに拡張可能か？この拡張はRIPを維持し、実用的実装を可能にするか？

主な発見

• 構築された行列は、k < 2^jに対して正確なRIPを達成し、行列次元m×nはlog m / log k ≈ log(log₂n) / log(log₂k)を満たす。
• マッチング Pursuitはノイズのない測定値からkスパース信号を正確に復元でき、標準的なグリーディ法よりも計算複雑性が低い。
• 有効な符号語の数τ_b^(a)はO(γ^b)として成長し、ここでγはz^{a+1}−z^a−1=0の最大根であり、かつγ > (a+3)/2)^{1/(a+1)}を満たす。
• 長さ2^l−1のBCH符号に対して、m = 2^l−1行およびn = 2^{2^{O(l/j log j)}}列の行列が得られ、スパースレベルk < 2^jをサポートする。
• Devoreのスキームを用いた{0, ±1}行列への拡張はRIP特性を維持し、動的範囲が向上した実用的サンプリングを可能にする。
• 本手法は確率的保証に依存しない決定的代替手法を提供し、再現可能でハードウェア実装可能な設計を可能にする。