[論文レビュー] Deterministic homogenization for discrete-time fast-slow systems under optimal moment assumptions

Ilya Chevyrev, Peter K. Friz+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、p-variation rough path理論を用いて、最適なモーメント条件の下で離散時間の高速・低速系に対して決定的ホモジエナイゼーションを確立する。弱収束の証明により、遅い成分が明示的に特徴付けられた drift と diffusion 係数を持つ Itô diffusion に収束することを示し、従来の連続時間結果を最小限のモーメント仮定で離散時間へと拡張する。

ABSTRACT

We consider discrete-time fast-slow systems of the form $$ X^{(n)}_{k+1} = X^{(n)}_k + n^{-1}a_n(X_k^{(n)},Y_k^{(n)}) + n^{-1/2}b_n(X_k^{(n)},Y_k^{(n)})\;, \quad Y_{k+1}^{(n)} = T_nY_k^{(n)}\;.$$ We give conditions under which the dynamics of the slow equations converge weakly to an Ito diffusion $X$ as $n o\infty$. The drift and diffusion coefficients of the limiting stochastic differential equation satisfied by $X$ are given explicitly. This extends the results of [Kelly--Melbourne, J. Funct. Anal. 272 (2017) 4063-4102] from the continuous-time case to the discrete-time case. Moreover, our methods ($p$-variation rough paths) work under optimal moment assumptions.

研究の動機と目的

• 連続時間から離散時間の高速・低速系への決定的ホモジエナイゼーション結果の拡張。
• 最小限のモーメント仮定の下で遅い成分が Itô diffusion に弱収束することの確立。
• 極限SDEの drift と diffusion 係数の明示的表現の導出。
• p-variation rough path 手法が最適なモーメント条件を満たす離散時間設定において有効であることを示す。

提案手法

• 形式 $ X^{(n)}_{k+1} = X^{(n)}_k + n^{-1}a_n(X_k^{(n)},Y_k^{(n)}) + n^{-1/2}b_n(X_k^{(n)},Y_k^{(n)}) $, $ Y_{k+1}^{(n)} = T_nY_k^{(n)} $ の離散時間高速・低速系を分析。
• 離散時間のダイナミクスを扱い、ホモジエナイゼーションの誤差を制御するために p-variation rough path 理論を適用。
• 収束に最適なモーメント条件を係数 $ a_n $ と $ b_n $ に課す。
• 高速過程 $ Y_k^{(n)} $ のエルゴード性および混合性の性質を用いて、極限拡散過程の有効係数を導出。
• 高速過程の統計的性質を用いて平均化された drift と diffusion 係数を計算し、極限 Itô SDE を導出。
• n \to \infty のとき、遅い過程 $ X^{(n)} $ が極限 Itô SDE の解に弱収束することを確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間の高速・低速系の遅い成分が、どのような条件下で拡散過程に弱収束するか？
• RQ2 離散時間設定において、極限 Itô SDE の drift と diffusion 係数をどのように明示的に特徴付けられるか？
• RQ3 離散時間でのホモジエナイゼーションに必要な・十分な $ a_n $ と $ b_n $ のモーメント仮定は何か？
• RQ4 p-variation rough path 手法を離散時間ホモジエナイゼーションに適応し、最適なモーメント条件を達成できるか？
• RQ5 離散時間ホモジエナイゼーション結果は、既存の連続時間結果と比較して、一般性や仮定の面でどのように異なるか？

主な発見

• 係数の最適なモーメント条件の下で、遅い成分 $ X^{(n)} $ は $ n \to \infty $ のとき Itô diffusion に弱収束する。
• 極限SDEの drift と diffusion 係数は、高速過程 $ Y_k^{(n)} $ の不変測度の上での平均として明示的に計算される。
• 収束は p-variation rough path 理論を用いて確立され、最小限のモーメント仮定を許容する。
• 本フレームワークにより、Kelly と Melbourne (2017) の結果が連続時間から離散時間系へと拡張される。
• 高い2次以上のモーメントを要しないでホモジエナイゼーションが達成され、仮定の最適性が裏付けられる。
• 極限SDEは適切に定義されており、有効係数が非確率的かつ明示的に計算可能であるという意味で、ホモジエナイゼーションの極限は決定的である。