[論文レビュー] Deterministic homogenization for fast-slow systems with chaotic noise

David Kelly, Ian Melbourne|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、強い混合性の仮定がなくても、混合性のない力学系の下で、遅い-速い系の弱収束がイト型拡散へと成立することを確立している。リッジパス理論を用いて、極限SDEにおけるドリフト項と拡散係数の明示的公式を導出し、アトラクタが非一様に双曲的であるローレンツ系も含む、非一様に双曲的でない流れへのホモジゲン化の拡張を達成した。

ABSTRACT

Consider a fast-slow system of ordinary differential equations of the form $\dot x=a(x,y)+\varepsilon^{-1}b(x,y)$, $\dot y=\varepsilon^{-2}g(y)$, where it is assumed that $b$ averages to zero under the fast flow generated by $g$. We give conditions under which solutions $x$ to the slow equations converge weakly to an Itô diffusion $X$ as $\varepsilon o0$. The drift and diffusion coefficients of the limiting stochastic differential equation satisfied by $X$ are given explicitly. Our theory applies when the fast flow is Anosov or Axiom A, as well as to a large class of nonuniformly hyperbolic fast flows (including the one defined by the well-known Lorenz equations), and our main results do not require any mixing assumptions on the fast flow.

研究の動機と目的

• 遅い変数が、混合性のない力学的系を有する遅い-速い系において、イト型拡散へと弱収束することを確立すること。
• 決定論的カオス的系ではしばしば不切実な強い混合性仮定を排除すること。
• 極限確率微分方程式におけるドリフト項と拡散係数の明示的公式を提供すること。
• ホモジゲン化理論を、アキソムAおよびアノソフ系を含む非一様に双曲的流れへと拡張すること。
• 弱収束のノイズ過程から解への弱収束への持ち上げを可能にする、リッジパス理論に基づく厳密なフレームワークを構築すること。

提案手法

• 決定論的ノイズ経路の滑らかな近似によって駆動されるリッジ微分方程式として、遅い方程式を再定式化すること。
• 関数空間内にノイズ経路 $V_\varepsilon(t) = \int_0^t a(\cdot, y_\varepsilon(r))\,dr$ および $W_\varepsilon(t) = \varepsilon^{-1}\int_0^t b(\cdot, y_\varepsilon(r))\,dr$ を定義すること。
• リッジパス理論を用いて、ノイズ空間から解空間への連続的解写像を構築すること。
• 連続写像定理を用いて、ノイズ経路の弱収束を解の弱収束へと転送すること。
• 関数値をとるリッジパス理論を用いて、混合性を要件としない、速い流れの不規則性を扱うこと。
• 関数 $b$ の時間平均相関関数を用いて、極限ドリフト $\tilde{a}(x)$ および拡散 $\sigma(x)\sigma^T(x)$ の明示的公式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い混合性仮定が成立しない場合、カオス的速い力学系を有する遅い-速い系において、決定論的ホモジゲン化を確立できるか？
• RQ2 非一様に双曲的でない速い流れに対して、極限イト型SDEにおけるドリフト項と拡散係数を支配する明示的公式は何か？
• RQ3 リッジパス理論を用いて、カオス的系のホモジゲン化において混合性仮定を回避できるか？
• RQ4 古典的ローレンツ系（非一様に双曲的）に対しても、ホモジゲン化の結果は成立するか？
• RQ5 極限係数は、エルゴード的不変測度および速い流れの構造にどのように依存するか？

主な発見

• 速い流れに混合性の仮定がなくても、遅い変数 $x_\varepsilon$ は $\varepsilon \to 0$ のとき、イト型拡散 $X$ へと弱収束する。
• 極限ドリフト $\tilde{a}^i(x)$ は $\int_\Omega a^i(x,y)\,d\mu(y) + \int_0^\infty \int_\Omega b(x,y) \cdot \nabla b^i(x, \phi_t y)\,d\mu(y)\,dt$ で与えられ、標準的ホモジゲン化公式の一般化である。
• 拡散係数は $\sigma(x)\sigma^T(x) = \int_0^\infty \int_\Omega \left( b(x,y) \otimes b(x, \phi_t y) + b(x, \phi_t y) \otimes b(x,y) \right) \,d\mu(y)\,dt$ を満たし、与えられた正則性条件のもとで積分が適切に定義される。
• 結果はアノソフ系およびアキソムA系に加え、ローレンツアトラクタを含む非一様に双曲的流れにも適用可能である。
• 収束は最小限の仮定のもとで成立：$b$ はゼロ平均であり、$b$ は混合 Hölder 範囲 $C^{\alpha,\kappa}$ に属し、$\alpha > 1$、$\kappa \in [0,1)$ を満たす。
• 理論は $L^{1/2}$-可積分な混合係数を要件としないため、現実的な決定論的カオス的系に適用可能である。