[論文レビュー] Deterministic homogenization under optimal moment assumptions for fast-slow systems. Part 2

Ilya Chevyrev, Peter K. Friz+3 more|Edinburgh Research Explorer|Mar 25, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、p-variation rough path理論を用いて、離散時間の速-遅系の決定的ホモジゲン化のための最適なモーメント仮定を確立し、弱収束として遅い過程が明示的に計算された drift と diffusion 係数をもつ Itô diffusion に収束することを証明する。本研究は、先行する連続時間の結果を離散時間に拡張し、粗いパスの技法を精緻化することで、必要なモーメントを 6+ε から 2+ε に削減し、鋭いモーメント条件を達成する。

ABSTRACT

We consider deterministic homogenization for discrete-time fast-slow systems of the form $$ X_{k+1} = X_k + n^{-1}a_n(X_k,Y_k) + n^{-1/2}b_n(X_k,Y_k)\;, \quad Y_{k+1} = T_nY_k\;$$ and give conditions under which the dynamics of the slow equations converge weakly to an Itô diffusion $X$ as $n o\infty$. The drift and diffusion coefficients of the limiting stochastic differential equation satisfied by $X$ are given explicitly. This extends the results of [Kelly-Melbourne, J. Funct. Anal. 272 (2017) 4063--4102] from the continuous-time case to the discrete-time case. Moreover, our methods (càdlàg $p$-variation rough paths) work under optimal moment assumptions. Combined with parallel developments on martingale approximations for families of nonuniformly expanding maps in Part 1 by Korepanov, Kosloff & Melbourne, we obtain optimal homogenization results when $T_n$ is such a family of maps.

研究の動機と目的

• 最小限のモーメント仮定の下で、離散時間の速-遅系の弱収束を保証する十分条件を確立すること。
• 連続時間における決定的ホモジゲン化の結果を離散時間動的系に拡張し、drift および diffusion 係数の形式に関する従来の制限を克服すること。
• α-ホルダー位相の代わりに p-variation rough path 理論を用いることで、最適なモーメント条件（2+ε モーメント）を達成すること。
• 家族の速いダイナミクス T_n および初期測度 λ_n を組み込むことにより、非一様に双曲的系への応用を可能にすること。
• ホモジゲン化された SDE の極限の drift および diffusion 係数の明示的公式を提示すること。

提案手法

• p-variation rough path 位相を用いて、離散時間の速-遅系における不規則な経路を扱い、最適なモーメント境界の下で収束を可能にする。
• càdlàg 経路に対して rough path 理論を適用し、Friz & Hairer (2011) の手法をバナッハ空間へのレベル2 rough path に拡張する。
• 速いダイナミクス T_n に対して弱不変性原理を用い、非一様に拡張する写像について Part 1 で検証済みである。
• ジャンプを伴う forward (Itô) rough 微分方程式の安定性結果をバナッハ空間値経路に拡張する。
• Garsia–Rodemich–Rumsey の補題を用いて、rough path の上昇における反復積分の Hölder 型ノルムを制御する。
• Hölder 型と p-variation 正則性の間の補間を用いた帰納的技法により、反復積分の p-variation を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適なモーメント仮定の下で、離散時間の速-遅系に対して決定的ホモジゲン化を厳密に確立できるか？
• RQ2 p-variation rough path 理論により、速いダイナミクスが非一様に双曲的であっても、明示的な係数をもつ Itô diffusion への収束が可能か？
• RQ3 ホモジゲン化の文脈において、中心極限定理に必要なモーメント要件を 6+ε から 2+ε に低減できるか？
• RQ4 家族の速いダイナミクス T_n および初期測度 λ_n をホモジゲン化フレームワークにどのように統合できるか？
• RQ5 元の系の係数および不変測度を用いて、極限 SDE の drift および diffusion 係数の正確な形は何か？

主な発見

• 遅い過程 x_n(t) = X_{⌊nt⌋}^n は、最適なモーメント仮定の下で、dX = ã(X)dt + σ(X)dB の解に法的に収束する。
• 極限の drift ã(x) および diffusion σ(x) は、速いダイナミクスの不変測度に沿った時間平均として明示的に計算される。
• 本手法により最適なモーメント条件が達成され、6+ε モーメントよりも少ない 2+ε モーメントで十分である。
• drift および diffusion 係数関数 a_n および b_n に対して、a(x) や b(x)v(y) のような分離形に制限されない一般の関数形が許容される。
• 非一様に双曲的系（例：γ < 1/2 の間欠的写像）の家族に対しても、弱不変性原理が検証された場合に本フレームワークが適用可能である。
• p-variation rough path 位相の使用により、α-ホルダー位相よりも弱い正則性条件で収束が可能となり、古典的な Donsker 型スケーリング極限と一致する。