[論文レビュー] Deterministic Identity Testing of Read-Once Algebraic Branching Programs

Maurice Jansen, Youming Qiao+1 more|ArXiv.org|Dec 14, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、『アラインメント』と呼ばれる新しい代数的性質と、Shpilka-Volkovich生成子の拡張を用いて、k回読み取り可能な代数的分岐プログラムの和（Σk-RO-ABPs）の決定的多項式時間の恒等式テストのためのアルゴリズムを提示する。Σk-RO-ABPsがΣk-RO-式よりも厳密に強力であることを示し、非ブラックボックス、セミブラックボックス、ブラックボックスの3つの設定に対して、それぞれ時間O(k²n⁷s) + n^O(k)、k²n^O(log n) + n^O(k)、n^O(k+log n)で動作する決定的アルゴリズムを提示する。これらの結果は、体のサイズに関する制約のもとで成り立つ。

ABSTRACT

In this paper we study polynomial identity testing of sums of $k$ read-once algebraic branching programs ($Σ_k$-RO-ABPs), generalizing the work in (Shpilka and Volkovich 2008,2009), who considered sums of $k$ read-once formulas ($Σ_k$-RO-formulas). We show that $Σ_k$-RO-ABPs are strictly more powerful than $Σ_k$-RO-formulas, for any $k \leq \lfloor n/2 floor$, where $n$ is the number of variables. We obtain the following results: 1) Given free access to the RO-ABPs in the sum, we get a deterministic algorithm that runs in time $O(k^2n^7s) + n^{O(k)}$, where $s$ bounds the size of any largest RO-ABP given on the input. This implies we have a deterministic polynomial time algorithm for testing whether the sum of a constant number of RO-ABPs computes the zero polynomial. 2) Given black-box access to the RO-ABPs computing the individual polynomials in the sum, we get a deterministic algorithm that runs in time $k^2n^{O(\log n)} + n^{O(k)}$. 3) Finally, given only black-box access to the polynomial computed by the sum of the $k$ RO-ABPs, we obtain an $n^{O(k + \log n)}$ time deterministic algorithm.

研究の動機と目的

• k回読み取り可能な代数的分岐プログラムの和（Σk-RO-ABPs）のための効率的な決定的恒等式テスト（PIT）アルゴリズムの開発。
• k ≤ ⌊n/2⌋のとき、Σk-RO-ABPsがΣk-RO-式よりも厳密に表現力が強いことを確立すること。
• RO-式向けに設計されたShpilka-Volkovich生成子をRO-ABPsに対しても適用可能にするように拡張すること。
• 構造的な解析を可能にするために、『アラインメント』という代数的性質を導入・利用すること。

提案手法

• 多項式の『アラインメント』の概念を導入し、事前のアラインメントを一般化することで、構造的な制限と帰納法を可能にする。
• Shpilka-Volkovich生成子を用いて個々のRO-ABPsの恒等式テストを実行し、RO-式を超えて有効であることを示す。
• 先行研究の『表現の困難さ』アプローチを用いて、Σk-RO-ABPsの構造を分析する。
• 偏微分と変数の制限を用いて、変数の数を削減しながらアラインメントおよび事前アラインメントの性質を保持する。
• 変数の数に関する帰納法を用い、Vanishing Theorem（定理9）を活用してPITを小さな集合Wₙ^{7k}におけるテストに還元する。
• 非ブラックボックス（RO-ABPsの完全なアクセスあり）、セミブラックボックス（成分へのブラックボックスアクセスあり）、ブラックボックス（和へのみブラックボックスアクセスあり）の3つのアクセスモデルに基づいてアルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Shpilka-Volkovich生成子は、RO-式に限らず、単一のRO-ABPの恒等式テストに対しても拡張可能か？
• RQ2 k ≤ ⌊n/2⌋のとき、Σk-RO-ABPsのクラスはΣk-RO-式よりも厳密に表現力が強いか？
• RQ3 アラインメント性質を用いて、Σk-RO-ABPsのための決定的恒等式テストアルゴリズムを設計可能か？
• RQ4 非ブラックボックス、セミブラックボックス、ブラックボックスの異なるアクセスモデルにおける、Σk-RO-ABPsの恒等式テストの計算量的複雑度は何か？
• RQ5 アラインメント多項式に対するVanishing Theoremは、Σk-RO-ABPsへ拡張可能か？これにより、小さなヒッティングセットを用いた効率的なPITが可能か？

主な発見

• k ≤ ⌊n/2⌋の任意のkについて、Σk-RO-ABPsはΣk-RO-式よりも厳密に強力である。これは、RO-ABPで計算可能だが、いかなるRO-式でも計算不可能な多項式の存在によって示された。
• 元々RO-式向けに設計されたShpilka-Volkovich生成子は、単一のRO-ABPに対しても有効な恒等式テストとして機能することが判明した。
• 非ブラックボックスアクセスの設定では、時間O(k²n⁷s) + n^O(k)で動作する決定的アルゴリズムが得られ、ここでsは最大のRO-ABPのサイズを上限とする。
• セミブラックボックスアクセスの設定では、同じ体のサイズ制約のもとで、時間k²n^O(log n) + n^O(k)で動作する決定的アルゴリズムが得られた。
• ブラックボックスアクセスの設定では、時間n^O(k+log n)で動作する決定的アルゴリズムが得られ、これはこの設定における初めての結果である。
• Vanishing Theorem（定理9）は、アラインメントおよび体のサイズ制約のもとで、f ≡ 0であることが、fがWₙ^{7k}に制限されたときに恒等的に0であることと同値であることを確立している。