[論文レビュー] Deterministic MST Sparsification in the Congested Clique

Janne H. Korhonen|arXiv (Cornell University)|May 6, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の定数 $ \varepsilon > 0 $ に対して、最小全域木（MST）を保存したままグラフの辺数を $ n^{1+\varepsilon} $ にまで削減する、確定的かつ定数ラウンドのアルゴリズムを、コンフスドクライエモデルで提示する。主な貢献は、スパarsificationを再帰的に強化する技術であり、これによりスパースグラフ上で効率的なMST計算が可能となり、結果として新たな確定的 $ O(\log\log n) $-ラウンドMSTアルゴリズムが得られる。

ABSTRACT

We give a simple deterministic constant-round algorithm in the congested clique model for reducing the number of edges in a graph to $n^{1+\varepsilon}$ while preserving the minimum spanning forest, where $\varepsilon > 0$ is any constant. This implies that in the congested clique model, it is sufficient to improve MST and other connectivity algorithms on graphs with slightly superlinear number of edges to obtain a general improvement. As a byproduct, we also obtain a simple alternative proof showing that MST can be computed deterministically in $O(\log \log n)$ rounds.

研究の動機と目的

• コンフスドクライエモデルにおいて、最小全域森（MSF）を保存する確定的かつ定数ラウンドのスパース化手法を開発すること。
• 線形にわずかに超える辺数（$ n^{1+\varepsilon} $）を持つグラフが、コンフスドクライエにおける接続性問題の最も困難なケースであることを示すこと。線形サイズのグラフは定数ラウンドで学習可能であるため。
• 確率的還元に依存しない、シンプルな新たな確定的 $ O(\log\log n) $-ラウンドMSTアルゴリズムをスパース化によって提供すること。
• 先行する高速MSTアルゴリズムで用いられる確率的スパース化技術の構成的代替案を提示すること。

提案手法

• アルゴリズムは再帰的パーティショニングを用いる：初期状態は単一ノードからなるパーティションであり、ノードをより大きなクラスタにグループ化することで、スパarsityパラメータ $ \varepsilon/2 $ を持つ新たなパーティションを構築する。
• 各ペアのクラスタ $ (T_i, T_j) $ に対して、ラベル $ (i,j) $ を持つノードが、Lenzenのルーティングプロトコルを用いてそれらの間のすべての辺を集める。これにより $ |E^{\mathcal{T}}_{ij}| \leq 2n $ が保証される。
• 各ラベル付きノードは、$ T_i \cup T_j $ に誘導される部分グラフのMSTを計算する。この部分グラフのサイズは十分に小さく（$ \leq 2n^{1-\varepsilon/2} $）なため、局所的に計算可能である。
• すべてのペアに対して得られたMSTの和集合がエッジ集合 $ E' $ を形成し、これは元のMSFを保存する。
• このプロセスを $ k $ 回繰り返すことで $ \varepsilon = 1/2^k $ を達成し、$ |E'| = O(n^{1+1/2^k}) $ を得る。
• エッジがMSFに属するための必要十分条件は、あるカットを横切る最小重みのエッジであることから、カットに基づく特徴付けにより正しさが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンフスドクライエモデルにおいて、確定的スパース化により、定数ラウンドでMSTを保存したまま辺数を $ n^{1+\varepsilon} $ に削減することは可能か？
• RQ2 ランダムネスを用いずに、定数ラウンドでスパarsityを $ \varepsilon $ から $ \varepsilon/2 $ に再帰的に強化することは可能か？
• RQ3 このスパース化技術により、コンフスドクライエで新たな確定的 $ O(\log\log n) $-ラウンドMSTアルゴリズムが得られるか？
• RQ4 $ n^{1+\varepsilon} $ の辺数を持つグラフは、コンフスドクライエにおける接続性問題の最も困難なケースと見なせるか？

主な発見

• 本稿では、$ O(k) $ ラウンドで確定的スパース化を達成し、辺数を $ O(n^{1+1/2^k}) $ に削減しながらMSTを保存する。
• $ k = \log\log n $ としてアルゴリズムを適用することで、コンフスドクライエにおける新たな確定的 $ O(\log\log n) $-ラウンドMSTアルゴリズムが得られる。
• MSTエッジのカットに基づく特徴付けにより、生成されたエッジ集合 $ E' $ は元の最小全域森を含むことが保証される。
• 再帰的パーティショニングとサイズ $ O(n^{1-\varepsilon/2}) $ の部分グラフ上の局所計算を通じて、$ \varepsilon $-スパarsityが維持される。
• エッジ集合の分布を定数ラウンドで行うために、Lenzenのルーティングプロトコルが用いられ、ノード間の効率的な協調が可能になる。
• この結果は、$ n^{1+\varepsilon} $ の辺数を持つグラフ上でMSTを効率的に解けるならば、一般のグラフに対してもMSTを解けることを示唆している。これは、スパース化の可能性に起因する。