[論文レビュー] Deterministic Time-Reversible Thermostats : Chaos, Ergodicity, and the Zeroth Law of Thermodynamics

William G. Hoover, J. C. Sprott+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2015

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リャプノフスペクトルを用いて、決定論的かつ時間反転対称性を持つ温度制御器—具体的にはフーバー＝ホリアン、ジュ＝ブルガツ、マーティーナ＝クライン＝タッカーの3種類—のエルゴード性とゼロ法則熱力学に整合するかを評価している。すべての温度制御器が拡張位相空間で滑らかで解析的であるガウス分布を生成し、同一のリャプノフスペクトルを示すことでカオス的挙動を示し、内部的および結合状態でもギブズの正準分布を再現することにより、統計力学的熱浴としての有効性が確認された。

ABSTRACT

The relative stability and ergodicity of deterministic time-reversible thermostats, both singly and in coupled pairs, are assessed through their Lyapunov spectra. Five types of thermostat are coupled to one another through a single Hooke's-Law harmonic spring. The resulting dynamics shows that three specific thermostat types, Hoover-Holian, Ju-Bulgac, and Martyna-Klein-Tuckerman, have very similar Lyapunov spectra in their equilibrium four-dimensional phase spaces and when coupled in equilibrium or nonequilibrium pairs. All three of these oscillator-based thermostats are shown to be ergodic, with smooth analytic Gaussian distributions in their extended phase spaces ( coordinate, momentum, and two control variables ). Evidently these three ergodic and time-reversible thermostat types are particularly useful as statistical-mechanical thermometers and thermostats. Each of them generates Gibbs' universal canonical distribution internally as well as for systems to which they are coupled. Thus they obey the Zeroth Law of Thermodynamics, as a good heat bath should. They also provide dissipative heat flow with relatively small nonlinearity when two or more such bath temperatures interact and provide useful deterministic replacements for the stochastic Langevin equation.

研究の動機と目的

• リャプノフスペクトルを用いて、決定論的かつ時間反転対称性を持つ温度制御器のエルゴード性と安定性を評価すること。
• これらの温度制御器がギブズの正準分布を内部的に再現できるか、およびゼロ法則熱力学を満たすかを特定すること。
• 調和スプリングを介して結合された状態での、5種類の温度制御器の力学的挙動を、平衡および非平衡状態で比較すること。
• 分子シミュレーションにおける確率的ランジュビンダイナミクスの信頼性の高い決定論的代替手段として、どの温度制御器が適しているかを同定すること。
• 特にマーティーナ＝クライン＝タッカー振動子に関する、長年の温度制御器モデルにおけるエルゴード性の問題を解消すること。

提案手法

• 孤立系および結合系における5種類の温度制御器（ノーゼ＝フーバー、パトラ＝バタチャーリャ、フーバー＝ホリアン、ジュ＝ブルガツ、マーティーナ＝クライン＝タッカー）のリャプノフスペクトルを計算する。
• 平衡および非平衡なペアにおいて、単一のフックの法則に従う調和スプリングを用いて温度制御器を結合する。
• 特に4次元拡張位相空間（q, p, ζ, ξ）の位相空間分布の滑らかさと解析的性を分析する。
• 位相空間連続の方程式を適用して定常解を検証し、(q, p)における正準分布および制御変数におけるガウス分布を確認する。
• 初期条件に依存しない100万回の独立シミュレーションを実行し、エルゴード性およびモーメントの収束性をテストする。
• モンテカルロ法と比較して、ポテンシャル障壁を越える動的ジャンプレートを評価し、温度制御器の挙動を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フーバー＝ホリアン、ジュ＝ブルガツ、マーティーナ＝クライン＝タッカー温度制御器は、それらの拡張位相空間でエルゴード的挙動を示すか？
• RQ2 これらの温度制御器は、内部的および他の系に結合された状態でもギブズの正準分布を再現できるか？
• RQ3 これらの温度制御器は、結合された状態でも一貫した温度と正準分布を維持することで、ゼロ法則熱力学を満たすか？
• RQ4 これらの温度制御器のリャプノフスペクトルはどのように比較できるか？ そして、これによりカオス的かつエルゴード的性質に何が示唆されるか？
• RQ5 非エルゴード的温度制御器（例：パトラ＝バタチャーリャ、ノーゼ＝フーバー）がエルゴード的温度制御器に結合された場合、どうなるか？ 奇妙なアトラクタまたはカオス的海が生成されるか？

主な発見

• フーバー＝ホリアン、ジュ＝ブルガツ、マーティーナ＝クライン＝タッカー温度制御器は、平衡状態の4次元位相空間において同一のリャプノフスペクトルを示し、類似したカオス的かつエルゴード的挙動を示している。
• これらの3種類の温度制御器は、拡張位相空間（q, p, ζ, ξ）で滑らかで解析的なガウス分布を生成しており、エルゴード性および正準集団と整合していることを確認した。
• 平衡または非平衡なペアで結合された場合、すべての3種類の温度制御器が指定された温度でギブズの正準分布を生成し、ゼロ法則熱力学を満たしている。
• マーティーナ＝クライン＝タッカー温度制御器は、非平衡状態においても有効であるが、⟨ζξ⟩_MKT^noneq ≠ 0 という相関が残っているため、目標温度への完全な回復に失敗している。
• 非エルゴード的温度制御器（例：パトラ＝バタチャーリャ、ノーゼ＝フーバー）がエルゴード的温度制御器に結合されると、定性的に異なる結果が得られる：パトラ＝バタチャーリャは散逸的奇妙アトラクタを、ノーゼ＝フーバーは保存的カオス的海を生成し、非ハミルトニアン性が顕在化する。
• MKT振動子の断面に見られる小さな「穴」や、局所的リャプノフ指数の多重フラクタル構造といった、いわゆる「謎」や「穴」は、一見滑らかなガウス分布に見えるが、背後に複雑なカオス的構造が隠されていることを示しており、単純な統計的挙動の背後に深い力学的複雑性が存在することを示唆している。