[論文レビュー] Deux exemples sur la dimension moyenne d'un espace de courbes de Brody

Bernardo Freitas Paulo da Costa|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Meromorphic and Entire Functions被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ホフ・サーフェスおよび直線を除いた射影平面 ℙ²∖ℙ¹という2つの複素曲面上のブロディ曲線空間の平均次元を調査する。ネヴァンリンナ理論および対数導関数補題を用いて、ホフ・サーフェスでは平均次元がゼロであることを証明する一方、楕円曲線の変形を用いて ℙ²∖ℙ¹ 上に正の次元をもつ曲線族を構成し、正の平均次元を確立する。この結果は、ファイブレーションにおける平均次元の振る舞いに関する未解決問題を解決し、代数幾何学において補完的空間の文脈で補完的役割を果たす。

ABSTRACT

We study the mean dimension of the space of 1-Brody curves lying in two complex surfaces: first for Hopf surfaces, then for the projective plane minus a line. We show in the first case that the mean dimension is zero via a bound on the growth of meromorphic curves involving the logarithmic derivative lemma. In the second case, we show its positivity by lifting from the line to its complement a space of Brody curves of positive mean dimension containing deformations of an elliptic curve.

研究の動機と目的

• 複素曲面上の1-ブロディ曲線空間の平均次元 β(X) を特定すること。
• 平均次元が除法子空間やファイブレーションの下でどのように振る舞うかを分析すること。
• 双曲的および非双曲的複素曲面上における平均次元に関する未解決問題を解消すること。
• ℙ²∖ℙ¹ に正の平均次元をもつブロディ曲線族を明示的に構成すること。

提案手法

• ε-近似による多面体によるスケーリングを用いた、距離に基づく平均次元の定義を用いる。この定義はディスク半径 R に応じてスケーリングされる。
• ホフ・サーフェス上での正則関数の成長を抑えるために、対数導関数補題を適用する。
• トーラス上の線束の準周期的セクションを用いて、正の次元をもつブロディ曲線空間を生成する。
• セクションの準周期性と格子平行移動における等長性に依存し、一様近似を保証する。
• シュワルツの補題を用いて、ℙ¹ から ℙ²∖ℙ¹ への変形を引き上げるが、1-ブロディ条件を保つ。
• ネヴァンリンナ理論およびボレル型定理の結果を用いて、除法子空間上での曲線の成長の順序を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホフ・サーフェス上での1-ブロディ曲線空間の平均次元はゼロか？
• RQ2 有理曲線が存在しないにもかかわらず、ℙ²∖ℙ¹ 上の1-ブロディ曲線空間で正の平均次元が生じ得るか？
• RQ3 双曲的タイプのファイブレーションにおいて、ブロディ曲線の平均次元は消えるか？
• RQ4 ℙ¹ 上の正の次元をもつブロディ曲線族を、有界な微分をもつ ℙ²∖ℙ¹ に引き上げることは可能か？
• RQ5 ℙ¹ 上のすべてのブロディ曲線は、有界な微分をもつ ℂ² 内の曲線の一様極限として表せるか？

主な発見

• ホフ・サーフェスに対して、任意のホフ・サーフェスで平均次元 β(X) はゼロである。これは、対数導関数補題を用いた正則関数の成長の上限により証明される。
• ℙ²∖ℙ¹ に対して、平均次元 β(ℙ²∖ℙ¹) は厳密に正である。これは、正の次元をもつ1-ブロディ曲線族を構成することで確立される。
• この構成は、ℙ¹ 内の双周期的曲線を変形することで、ℂ² ≈ ℙ²∖ℙ¹ 上で一様に有界な微分をもつ曲線族を生成することに依存する。
• ℙ²∖ℙ¹ 上の曲線族は、トーラス上の線束の準周期的セクションを引き上げることで得られ、1-ブロディ条件が保たれる。
• この曲線族が ℙ¹-ブロディ曲線の閉包において稠密であることが示され、平均次元が基本対象から引き継がれることが示される。
• この結果は、非双曲的補完空間であっても平均次元が正になり得ることを確認しており、5本の直線の補完空間のような既知の双曲的ケースとは対照的である。