[論文レビュー] Developing de Broglie Wave

J. X. Zheng-Johansson, Pär I. Johansson|ArXiv.org|Aug 27, 2006

Mechanical and Optical Resonators被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、運動する質量のない電荷（'バキューレオン'）が生成するドーピラー効果を受ける電磁波成分の重ね合わせから、ド・ブロイ波が自然に生じることを提案する。1次元の箱の中を運動する粒子を、反対方向に伝わる電磁波の系としてモデル化することで、得られる定常波の拍動周波数および波長が、ド・ブロイの関係式と一致し、位相速度は c²/v、波長は Λd = (v/c)Λ となる。この定常波解は、1次元の箱の中の粒子に対するシュレーディンガー方程式の固有状態を正確に再現する。

ABSTRACT

The electromagnetic component waves, comprising together with their generating oscillatory massless charge a material particle, will be Doppler shifted when the charge hence particle is in motion, with a velocity $v$, as a mere mechanical consequence of the source motion. We illustrate here that two such component waves generated in opposite directions and propagating at speed $c$ between walls in a one-dimensional box, superpose into a traveling beat wave of wavelength ${\mitΛ}_d$$=(\frac{v}{c}){\mitΛ}$ and phase velocity $c^2/v+v$ which resembles directly L. de Broglie's hypothetic phase wave. This phase wave in terms of transporting the particle mass at the speed $v$ and angular frequency ${\mitΩ}_d=2πv /{\mitΛ}_d$, with ${\mitΛ}_d$ and ${\mitΩ}_d$ obeying the de Broglie relations, represents a de Broglie wave. The standing-wave function of the de Broglie (phase) wave and its variables for particle dynamics in small geometries are equivalent to the eigen-state solutions to Schrödinger equation of an identical system.

研究の動機と目的

• ド・ブロイの位相波仮説における『波打っている物理的実体』が何かという基礎的謎を解明すること。
• ド・ブロイ波が仮説的構成物ではなく、運動する振動する電荷が生成する実際の電磁波の重ね合わせから生じることを示すこと。
• 粒子の全波動関数、質量、運動量、エネルギーが、1つの振動する電荷とその電磁場から生じることを示すことにより、古典的・量子的・相対論的力学を統合すること。
• このモデルの定常波解が、1次元の箱の中の粒子に対するシュレーディンガー方程式の固有状態と正確に一致することを証明すること。

提案手法

• 粒子を1次元の箱内で速度 v で運動する質量のない振動電荷（バキューレオン）としてモデル化する。
• マクスウェル方程式を適用して、+Xおよび-X方向に伝わる電磁波成分を導出し、電荷の運動に起因するドーピラー効果を考慮する。
• 2つの成分波を重ね合わせて、波長 Λd = (v/c)Λ、位相速度 c²/v の拍動波を形成する。
• 実際の電磁波とその仮想的対応物の重ね合わせによって得られる全波動関数 ψ(X,T) を定義する。
• この全波動関数の包絡線 Ψ(X) がド・ブロイ位相波に対応し、ド・ブロイ関係式を満たすことを示す。
• 閉じた系における定常波解が、シュレーディンガー方程式の固有状態と一致することを示し、運動量 Pvn = nh/(2L) およびエネルギー Evn = n²h²/(8ML²) が量子化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ド・ブロイ位相波の背後にある物理的メカニズムは何か？実際に何が波打っているのか？
• RQ2 運動する電荷から生じるドーピラー効果を受ける電磁波が、どのように位相速度 c²/v、波長 Λd = (v/c)Λ の波を生じるのか？
• RQ3 量子論的仮説を導入することなく、古典的電磁波の重ね合わせからド・ブロイ関係式（λ = h/p、E = hν）を導出できるか？
• RQ4 この電磁波に基づくモデルの定常波解は、1次元の箱の中のシュレーディンガー方程式の固有状態とどのように比較できるか？
• RQ5 このモデルにおける波動関数の収束と確率密度の物理的起源は何か？

主な発見

• 運動するバキューレオン電荷から生じるドーピラー効果を受ける電磁波の重ね合わせによって形成される全波動関数 ψ(X,T) は、波長 Λd = (v/c)Λ、位相速度 c²/v の拍動パターンを示し、ド・ブロイの位相波と一致する。
• 拍動波の角周波数は Ωd = 2πv/Λd であり、この Λd と Ωd の組み合わせはド・ブロイ関係式 E = ℏΩd および p = ℏk̃d を満たす。
• 境界条件 ψ(0,T) = ψ(L,T) = 0 を満たす定常波解 ψ(X,T) = C4 cos(KX) sin[(Ω+Ωd)T] は、正規化された波動関数 Ψ(X,T) = √(2/L) sin(KdX) e^(-iΩd/2 T) に帰着し、1次元の箱の中の粒子に対するシュレーディンガー固有状態と同一である。
• 運動量とエネルギーは Pvn = nh/(2L) および Evn = n²h²/(8ML²) として量子化され、標準的な量子力学的結果と一致する。
• 位置 X における粒子の存在確率密度は ψ²(X) に比例し、包絡線 Ψ(X) はシュレーディンガーの確率振幅と一致する。
• 不確定性関係 ∆Pv ⋅ 2L = h は、量子化条件から導出され、量子力学的不確定性が定常波における空間的広がりと破壊的干渉に起因することを示している。