[論文レビュー] Development of a unified high-order nonhydrostatic multi-moment constrained finite volume dynamical core: derivation of flux-form governing equations in the general curvilinear coordinate system

Xingliang Li, Chungang Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2020

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般曲線座標系における高次非水圧型マルチモーメント制約有限体積（MCV）動的コアのフラックス形式の支配方程式を導出しており、球面およびキューブド・スフィアグリッド上での高精度な大気モデル化を可能にする。この定式化は、直交および非直交系における計量テンソル、クリスティオーベル記号、発散作用素を含み、球面極座標およびキューブド・スフィア幾何における明示的表現を備え、カーテシアン極限を含む座標系間の一貫性を保証する。

ABSTRACT

In the manuscript we have derived the flux-form atmospheric governing equations in the general curvilinear coordinate system which is used by a high-order nonhydrostatic multi-moment constrained finite volume (MCV) dynamical core, and given the explicit formulations in the shallow-atmosphere approximation. In general curvilinear coordinate x^i(i = 1,2,3), unlike the Cartesian coordinate, the base vectors are not constants either in magnitude or direction. Following the representations such as base vectors, vector and tensor and so on in general curvilinear coordinate, we can obtain the differential relations of base vectors, the gradient and divergence operator etc. which are the component parts of the atmospheric governing equation. Then we apply them in the two specific curvilinear coordinate system: the spherical polar and cubed-sphere coordinates that are adopted in high-order nonhydrostatic MCV dynamical core. By switching the geometrics such as the metric tensors (covariant and contravariant), Jacobian of the transformation, the Christoffel symbol of the second kind between the spherical polar and cubed-sphere coordinates, the resulting flux-form governing equations in the specific coordinate system can be easily achieved. Of course, the Cartesian coordinate can be recovered. Noted that the projection metric tensors like spherical polar system and Cartesian coordinate become simple due to orthogonal properties of coordinate.

研究の動機と目的

• 任意の曲線座標系、特に球面およびキューブド・スフィア系に適用可能な統一的で高次の非水圧型動的コアの開発を目的とする。
• 保存性および幾何的一致性を保つ一般曲線座標系におけるフラックス形式の支配方程式の導出を目的とする。
• 浅い大気および深い大気の近似の下で、球面極座標およびキューブド・スフィア座標における計量テンソル、クリスティオーベル記号、発散作用素の明示的定式化を目的とする。
• 定式化がカーテシアン座標に正しく還元され、特別な場合に直交性を維持することを保証することを目的とする。
• 幾何的正確性を保つ高次有限体積法のグローバル大気モデルへの実装を支援することを目的とする。

提案手法

• 座標基底に依存しない、幾何的保存性形式の3次元圧縮性非水圧型Euler方程式を導出する。
• 反変速度成分および計量テンソル $G^{ij}$ を用いて、一般曲線座標系における支配方程式を表現する。
• クリスティオーベル記号 $\Gamma_{jk}^i$ を含む、曲線座標系における発散作用素の形 $\frac{1}{\sqrt{G}}\frac{\partial}{\partial x^j}(\sqrt{G} T^{ij}) + \Gamma_{mk}^i T^{mk}$ を適用する。
• 座標変換のためのヤコビアン $\sqrt{G} = \det(G_{ij})^{1/2}$ および逆計量 $G^{ij} = (G_{ij})^{-1}$ を計算する。
• パラメトリック写像を用いて、球面極座標およびキューブド・スフィア座標における計量テンソル、クリスティオーベル記号、幾何的項の明示的表現を導出する。
• カーテシアン座標の回復および球面系における直交性の簡略化を示すことにより、一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般曲線座標系における高次非水圧型大気モデルのフラックス形式の支配方程式を、どのように体系的に導出できるか？
• RQ2 球面極座標およびキューブド・スフィア座標における計量テンソル、クリスティオーベル記号、発散作用素の明示的形は何か？
• RQ3 特に $G^{ij}\Gamma^k_{ij}$ の幾何的項は、浅い大気近似と深い大気近似の間でどのように異なるか？
• RQ4 この定式化は、カーテシアン、球面、キューブド・スフィア幾何を1つの高次有限体積フレームワーク内で統合できるか？
• RQ5 コリオリ力は、曲線座標系における反変成分でどのように表現されるか？

主な発見

• 反変速度および計量テンソルを用いた一般曲線座標系におけるフラックス形式の支配方程式が導出され、保存性および幾何的一致性が保証される。
• クリスティオーベル記号 $\Gamma_{jk}^i$ は $\frac{1}{2}G^{im}(\partial_i G_{km} + \partial_k G_{jm} - \partial_m G_{jk})$ を用いて明示的に計算され、正確な幾何的取り扱いが可能になる。
• 浅い大気近似では、キューブド・スフィアにおいて $G^{ij}\Gamma^k_{ij} = 0$ であるが、深い大気の場合には径方向成分で $(-2/r)$ に変化し、垂直曲率効果が反映される。
• 球面極座標では、浅い大気近似では $G^{ij}\Gamma^k_{ij} = \tan\varphi / R^2$、深い大気近似では $\tan\varphi / r^2 - 2/r$ となり、径方向依存性が明確に現れる。
• キューブド・スフィアの計量テンソル $G_{ij}$ は変換行列 $M$ を通じて導出され、$X = \tan(\xi)$、$Y = \tan(\eta)$、$\delta = \sqrt{1+X^2+Y^2}$ を用いて $\overline{G}_{ij}$ が表現される。
• 計量項が消える場合にカーテシアン座標に還元されることから、一貫性および直交性の回復が確認される。