[論文レビュー] Developments on the congruence subgroup problem after the work of Bass, Milnor and Serre

Gopal Prasad, Andrei S. Rapinchuk|ArXiv.org|Sep 9, 2008

Finite Group Theory Research参考文献 44被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、Bass、Milnor、Serreの基礎的業績に続く線形代数的群における合同部分群問題の発展を調査する。S-整数環上の群の有界生成性がS-合同部分群核の有限性（したがって中心性）を示すことを確立し、直接計算が困難な場合における合同部分群性の証明の新たな道筋を提供する。

ABSTRACT

In this survey article we give an overview of the developments on the congruence subgroup and the metaplectic problems after the work of Bass, Milnor and Serre.

研究の動機と目的

• Bass、Milnor、Serreの画期的業績に続く線形代数的群における合同部分群問題の進展を調査すること。
• 特に有界生成性を含む現代的結果と技術が、以前の発見をどのように統合・一般化するかを明確化すること。
• S-合同部分群核が有限となる条件、特にS-整数環上の群の有界生成性を介しての条件を調査すること。
• 非可約的および非分解的群への合同部分群性の拡張において、未解決の問題と残された課題を特定すること。
• 有界生成性を通じて、K理論、表現論、Kazhdanの性質(T)といった広範な分野と合同部分群問題を結びつけること。

提案手法

• S-整数環上の群におけるS-整数環位相とS-合同部分群位相を用い、合同部分群問題をこれらの位相の一致として再定式化する。
• S-合同部分群核を、S-整数環上の群のプロファイnite完備化間の自然な連続な準同型の核として定義する。
• プロファイnite群の有界生成性の理論を応用して、S-合同部分群核の構造を分析する。
• 特にCarter-KellerおよびTavgenの結果を活用した代数的K理論と群コホホロジーの技術を用いる。
• 特定のケースにおける有界生成性の検証に、組合せ論的群論と初等行列の交換関係を用いる。
• p進群および表現論の結果を応用し、ある種の設定において有界生成性が表現の剛性およびKazhdanの性質(T)を示すことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体k上の半単純代数的群Gに対して、S-合同部分群核C^S(G)が有限となるような条件は何か？
• RQ2 S-整数環上の群G(O_S)の有界生成性が、合同部分群性の十分条件として用いられるか？
• RQ3 k-非可約な群の例として、G(O_S)が有界生成性を示し、したがってC^S(G)が有限となる例はあるか？
• RQ4 O_Sの代数的整数環やZ[x]のような多項式環Rに対して、SL_n(R)の有界生成性は確立可能か？
• RQ5 有界生成性は、離散線形群におけるKazhdanの性質(T)および表現の剛性とどのように関係するか？

主な発見

• S-整数環上の群Γ = G(O_S)のプロファイnite完備化の有界生成性は、S-合同部分群核C^S(G)が有限であることを示す。
• k-ランク > 1である数体上の絶対的単純で simply connected な群Gに対して、Γの有界生成性は合同部分群性を示す。
• S-整数環群がプロファイnite群として有界生成するとき、かつそのときに限り、S-合同部分群核C^S(G)は自明である（すなわち、合同部分群性が成り立つ）。
• この結果は、分解型、準分解型、および特定の直交群（例：n ≥ 5でWitt指数 ≥ 2、または非アーチメデス的位相をSに含むインデックス1のSO(f)）に拡張可能である。
• SL_n(O_S)（n ≥ 3）に対して、初等行列による有界生成性は、合同部分群核の有限性を示し、交換関係を用いて検証可能である。
• 有界生成性は表現の剛性を示し、Kazhdan定数の推定を可能にする。ShalomのSL_n(O_S)に関する研究がこれを示している。