[論文レビュー] Deviation equations in spaces with affine connection

Bozhidar Z. Iliev, Sawa Manoff|ArXiv.org|Dec 1, 2005

Elasticity and Wave Propagation参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、接続係数のリー微分を用いて、非対称なアフィン接続を伴う空間における測地線および非測地線軌道の一般化された偏り方程式を導出する。接続係数のリー微分に関する条件を課すことにより、曲率と torsion を組み込んだ共変な偏り形式を確立し、リーマン幾何学の古典的結果を非対称なアフィン接続と torsion を持つ空間へと拡張する。

ABSTRACT

Connections between Lie derivatives and the deviation equation has been investigated in spaces with affine connection. The deviation equations of the geodesics as well as deviation equations of non-geodesics trajectories have been obtained on this base. This is done via imposing certain conditions on the Lie derivatives with respect to the tangential vector of the basic trajectory.

研究の動機と目的

• リーマン空間からアフィン接続空間への偏り方程式を導出するリー微分法の拡張を図ること。
• 非対称接続と torsion を考慮する $L_n$ 空間における一般化された偏り方程式の定式化。
• アフィン接続を用いた重力的・幾何的物理現象における軌道偏りを研究する共変な枠組みの確立。
• 追加の制約下での物理的解釈および具体的な偏り方程式の例の導出。
• 微分同相写像下での基本的軌道と変形された軌道の間の変換則の確立を、幾何的構造を保存する形で行う。

提案手法

• 無限小点変換を用いて導出された基礎的恒等式として、接続係数のリー微分 $\mathcal{L}_{\xi}\Gamma_{ij}^k$ を用いる。
• 曲率、torsion、リー微分を関連付ける恒等式 $\mathcal{L}_{\xi}\Gamma_{ij}^k = \xi^{k}_{|ij} - R_{ijl}^k \xi^l - (T_{il}^k \xi^l)_{|j}$ を適用する。
• $C^2$ 軌道 $x(s)$ 沿いに、接続係数の共変微分作用素 $\frac{\bar{D}}{ds} = u^i \bar{\nabla}_i$ を用いて一般化された偏り方程式を導出する。
• $\mathcal{L}_{\xi}F^i$ に条件を課すことにより、基本的軌道と変形された軌道の整合性を確保し、偏りベクトルの変換則を導く。
• 接続係数とそのリー微分を表現するため、$\{E_i\}$ と行列変換 $A_{i}^{\alpha}$ を用いたフレーム依存の形式主義を導入する。
• 無限小微分同相写像を介して $\Gamma_{jk}^i$ のリー微分を導出し、重要な式 $\mathcal{L}_{\xi}\Gamma_{jk}^i = -\Gamma_{jk}^n \Sigma_n^i + \Gamma_{nk}^i \Sigma_n^j + \Gamma_{jn}^i \Sigma_n^k + \Sigma_{j,k}^i + \Gamma_{jk,n}^i \xi^n$ に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー微分形式主義をリーマン空間から torsion を持つアフィン接続空間へどのように拡張できるか。
• RQ2 アフィン接続空間における非測地線軌道の一般化された偏り方程式の一般的な形は何か。
• RQ3 曲率テンソルと torsion テンソルは、このような空間内での近接する軌道間の相対加速度にどのように影響を与えるか。
• RQ4 軌道の変形が偏り方程式の幾何的構造を保存するための条件は何か。
• RQ5 接続のリー微分を用いて、基本的軌道とその変形像との間の変換を一貫して記述する方法は何か。

主な発見

• アフィン接続空間における一般化された偏り方程式は、$\frac{\bar{D}^2 \xi^k}{ds^2} = R_{ijl}^k u^i u^j \xi^l + \xi_{|j}^k F^j + u^j \frac{\bar{D}}{ds}(T_{jl}^k \xi^l) + \mathcal{L}_{\xi}(u^k_{|i}u^i) - u^i (\mathcal{L}_{\xi}u^k)_{|i} - u_{|i}^k \mathcal{L}_{\xi}u^i$ として導出され、曲率、torsion、リー微分を統合する。
• torsion が消え、接続が対称である場合、この方程式はリーマン空間における標準的な測地線偏り方程式に簡約される。
• 軌道の変形が一貫しているための必要十分条件は、$\mathcal{L}_{\xi}F^i = -F^i + \frac{1}{w^2}\left\{ F^i - (u^i + V^i)\left(V^j(\ln w)_{,j}\frac{D\ln w}{dr}\right) + V^j(u^j + V^i)_{,j} + u^j V_{|j}^i + (u^j + V^j)(u^k + V^k)\mathcal{L}_{\xi}\Gamma_{jk}^i \right\}$ であり、変形が接続のリー微分と関連付けられる。
• 接続ベクトルが比例する場合、$v^\alpha = \frac{1}{w}u^\alpha$ であると、$x_0(r) \mapsto x_1(r_1)$ の変換は幾何的構造を保存する。このとき、偏り方程式は共変のままである。
• 接続係数のリー微分は明示的に $\mathcal{L}_{\xi}\Gamma_{jk}^i = -\Gamma_{jk}^n \Sigma_n^i + \Gamma_{nk}^i \Sigma_n^j + \Gamma_{jn}^i \Sigma_n^k + \Sigma_{j,k}^i + \Gamma_{jk,n}^i \xi^n$ として計算され、今後の応用のための計算的ツールを提供する。
• この形式主義により、追加の制約下での偏り方程式の具体的な例の導出が可能となり、物理的および幾何的モデリングにおける実用性が示される。