[論文レビュー] Device-independent lower bounds on the conditional von Neumann entropy

Peter Brown, Hamza Fawzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2021

Quantum Mechanics and Applications参考文献 66被引用数 26

ひとこと要約

本論文は、収束する変分フレームワークと SDP 緩和を導入し、条件付き von Neumann エントロピーのデバイス独立下界を計算可能にし、DI-RE および DI-QKD のレートをより厳密にし、エントロピー蓄積定理との適合性を実現します。

ABSTRACT

The rates of several device-independent (DI) protocols, including quantum key-distribution (QKD) and randomness expansion (RE), can be computed via an optimization of the conditional von Neumann entropy over a particular class of quantum states. In this work we introduce a numerical method to compute lower bounds on such rates. We derive a sequence of optimization problems that converge to the conditional von Neumann entropy of systems defined on general separable Hilbert spaces. Using the Navascués-Pironio-Acín hierarchy we can then relax these problems to semidefinite programs, giving a computationally tractable method to compute lower bounds on the rates of DI protocols. Applying our method to compute the rates of DI-RE and DI-QKD protocols we find substantial improvements over all previous numerical techniques, demonstrating significantly higher rates for both DI-RE and DI-QKD. In particular, for DI-QKD we show a minimal detection efficiency threshold which is within the realm of current capabilities. Moreover, we demonstrate that our method is capable of converging rapidly by recovering all known tight analytical bounds up to several decimal places. Finally, we note that our method is compatible with the entropy accumulation theorem and can thus be used to compute rates of finite round protocols and subsequently prove their security.

研究の動機と目的

• 条件付き von Neumann エントロピーの下界によって、デバイス独立プロトコル（DI-RE および DI-QKD）のレートを動機づけ、定量化する。
• 一般的な可分ヒルベルト空間および無限次元を扱える、数値的に扱いやすく収束する手法を開発する。
• NPA階層を活用して、変分表現をSDPへ緩和し、下界の実用的な計算を可能にする。
• 従来の数値技術より改善を示し、有限ラウンドのセキュリティ証明のためにエントロピー蓄積定理との適合性を確立する。

提案手法

• 非可換多項式 P_m（式 (1)）を用いて条件付き von Neumann エントロピーを近似する一連の変分表現 H_m[rho] を導入する。
• すべての m に対して H[rho] ≥ H_m[rho] を証明し、適合状態の下限が m → ∞ のとき収束することを示す。
• 相対エントロピーの収束性のある上界（定理 2.1）を提供し、これらがプロトコルのレート下界（補題 2.3）を生むことを示す。
• Navascués-Pironio-Acín (NPA) 階層を介して、得られた最適化を一連のセミデfinite プログラム（SDP）へ緩和し、一般的な（無限次元を含む）系の計算を可能にする。
• Gauss-Radau 求積法を用いてノード t_i と重み w_i を構築し、作用素ノルムの界を設けて有限次元 SDP 緩和を保証する。
• デバイス制約を取り入れ、DI-RE および DI-QKD のレートを抽出する手順を説明する（式 (7)-(9) および関連する最小化）。
• 以前の手法に比べて実質的な改善と、既知の厳密解析的界への急速な収束を示す数値結果を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測された相関が与えられたとき、DI デバイスによって生じる最小の条件付き von Neumann エントロピーをどのように計算するか、あるいは境界づけることができるか。
• RQ2 一般的な（おそらく無限次元の）量子系に対して動作し、DIプロトコルのレートに対して厳密な下界を与える、収束性があり数値的に扱いやすい方法を開発できるか。
• RQ3 これらの下界は、既存の手法と比較してDI-REおよびDI-QKDのシナリオでどのように性能を発揮するか。
• RQ4 エントロピー蓄積定理をこれらの下界と統合して、有限ラウンドのセキュリティ証明を導出することは可能か。

主な発見

• 収束する変分下界の列 H_m[rho] を導入し、m の増加とともに真のエントロピーへ収束する、H(A|X,Q_E) のデバイス独立推定を提供する。
• NPA階層による緩和は、一般の可分ヒルベルト空間に適用可能な、DIプロトコルのレートの証明可能な下界を計算するSDPを生み出す。
• 数値結果は、DI-REおよびDI-QKDの両方について prior numerical methods より substantial improvements を示し、DI-QKD の検出効率閾値の改善を含む。
• この手法は、いくつかのケースで既知の厳密解析界を数 桁まで回復し、急速で信頼性の高い収束を示す。
• このフレームワークはエントロピー蓄積定理と互換性があり、有限ラウンドのレート計算とセキュリティ証明を可能にする。
• 従来のアプローチと比べて、多くの DI シナリオでより速い収束と高い計算効率を達成する。