[論文レビュー] Dg algebras with enough idempotents, their dg modules and their derived categories

Manuel Saorı́n|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、十分なイデムポテンスをもつdg代数と小さなdg圏の間で基礎的な同値性を確立し、それらのdg加群および導来圏が quasi-equivalent であることを示している。dg随伴を導入し、このようなdg代数に対して、左加群と右加群のperfectな導来圏が互いに双対であることを証明しており、古典的なモジュール論的随伴を導来ファンクターを用いたdg設定へと拡張している。

ABSTRACT

We develop the theory dg algebras with enough idempotents and their dg modules and show their equivalence with that of small dg categories and their dg modules. We introduce the concept of dg adjunction and show that the classical covariant tensor-Hom and contravariant Hom-Hom adjunctions of modules over associative unital algebras are extended as dg adjunctions between categories of dg bimodules. The corresponding adjunctions of the associated triangulated functors are studied, and we investigate when they are one-sided parts of bifunctors which are triangulated on both variables. We finally show that, for a dg algebra with enough idempotents, the perfect left and right derived categories are dual to each other.

研究の動機と目的

• 十分なイデムポテンスをもつdg代数とそのdg加群の包括的な理論を構築し、古典的代数と現代のdg圏理論を橋渡しすること。
• 小さなdg圏と十分なイデムポテンスをもつdg代数の間の一対一対応を確立し、それらの加群圏のdg同値性を証明すること。
• 結合的代数上の古典的テンソル-HomおよびHom-Hom随伴をdg設定に拡張し、dg双モジュールの圏の間のdg随伴を構成すること。
• dgファンクターの導来ファンクターを研究し、それらが両変数で三角的であるような関手となる条件を同定すること。
• 十分なイデムポテンスをもつdg代数のperfectな左および右導来圏が互いに双対であることを証明すること。

提案手法

• 標準的なdg公理を満たす次数と微分を備えた、複数のイデムポテンス生成子をもつ代数の一般化として、十分なイデムポテンスをもつdg代数を定義する。
• このような代数上の右dg加群の圏を構成し、関連する小規模なdg圏上のdg加群圏とその同値性を証明する。
• 古典的随伴（テンソル-HomおよびHom-Hom）をdgレベルに持ち上げることでdg随伴を導入し、随伴構造を保存する。
• ホモトピーおよび導来圏を用いてdgファンクターを分析し、特に制限およびスカラー拡張の導来ファンクターに注目する。
• 理論を応用して、導来Homおよびテンソルファンクターを用いてperfectな左および右導来圏の双対性を明示的な同型を用いて証明する。
• perfectな圏の生成子上で同型を検証し、ホモトピー的射影性およびHom複体とモジュール間の明示的同型を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分なイデムポテンスをもつdg代数の理論を、小さなdg圏の理論を模倣する形で体系的にどのように発展させられるか？
• RQ2 結合的代数上の古典的テンソル-HomおよびHom-Hom随伴のdgアナログは、正確にはどのようなものか？
• RQ3 dgファンクターの導来ファンクターが両変数で三角的である関手となる条件は何か？
• RQ4 十分なイデムポテンスをもつdg代数上のdg加群の導来圏は、小規模なdg圏の導来圏とどのように関係するか？
• RQ5 十分なイデムポテンスをもつdg代数に対して、perfectな左および右導来圏の間に導来双対性が存在するか？

主な発見

• 十分なイデムポテンスをもつdg代数上の右dg加群の圏と、関連する小規模なdg圏上のdg加群圏の間には、厳密なdg同値性が存在する。
• 古典的な共変テンソル-Homおよび反変Hom-Hom随伴は、dg双モジュールの圏の間のdg随伴に拡張されている。
• 制限およびスカラー拡張の導来ファンクターはdg随伴をなし、その合成はperfectなモジュール上で自然変換として同型である。
• 任意の十分なイデムポテンスをもつdg代数に対して、perfectな左および右導来圏は導来Homおよびテンソルファンクターを用いて互いに双対である。
• 双対性証明における鍵となる同型は、生成子 $e_iA$ で検証されており、$B igotimes_A ext{Hom}_A(e_iA, A)$ と $Be_i$ の間、および $e_iA igotimes B$ と $Be_i$ の間の明示的同型（次数0の写像および逆写像を伴う）が用いられている。