[論文レビュー] DGNet: Discrete Green Networks for Data-Efficient Learning of Spatiotemporal PDEs

Yingjie Tan, Quanming Yao+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2026

Model Reduction and Neural Networks被引用数 0

ひとこと要約

DGNetは、グラフ上の離散グリーン関数と物理–ニューラルハイブリッドを用いて時空間PDEを効率的に学習し、限定データで強い精度と未 seenソース項へのゼロショット一般化を実現する。

ABSTRACT

Spatiotemporal partial differential equations (PDEs) underpin a wide range of scientific and engineering applications. Neural PDE solvers offer a promising alternative to classical numerical methods. However, existing approaches typically require large numbers of training trajectories, while high-fidelity PDE data are expensive to generate. Under limited data, their performance degrades substantially, highlighting their low data efficiency. A key reason is that PDE dynamics embody strong structural inductive biases that are not explicitly encoded in neural architectures, forcing models to learn fundamental physical structure from data. A particularly salient manifestation of this inefficiency is poor generalization to unseen source terms. In this work, we revisit Green's function theory-a cornerstone of PDE theory-as a principled source of structural inductive bias for PDE learning. Based on this insight, we propose DGNet, a discrete Green network for data-efficient learning of spatiotemporal PDEs. The key idea is to transform the Green's function into a graph-based discrete formulation, and embed the superposition principle into the hybrid physics-neural architecture, which reduces the burden of learning physical priors from data, thereby improving sample efficiency. Across diverse spatiotemporal PDE scenarios, DGNet consistently achieves state-of-the-art accuracy using only tens of training trajectories. Moreover, it exhibits robust zero-shot generalization to unseen source terms, serving as a stress test that highlights its data-efficient structural design.

研究の動機と目的

• 神経PDEソルバーのデータ効率が十分な構造的帰納的バイアスの不足により制限されることを強調する。
• グラフ上の重ね合わせ原理をエンコードする離散グリーンネットワークを提案し、学習効率を向上させる。
• 多様なPDEにわたる数十本の訓練軌道で最先端の精度を示し、未見のソース項に対するゼロショット一般化を示す。

提案手法

• 状態の進展とソース応答を分解する離散グリーン関数の更新を導出する。
• 離散化された勾配/ラプラシアンとGNN補正をエンコードする物理–ニューラルハイブリッド演算子 L = L_physics + L_neural を構築する。
• Crank–Nicolson時間進行スキームに離散グリーン解法を組み込み、効率のために因子化された疎線形系を用いる。
• 不規則なメッシュ上で物理ベースの演算子への補正を学習する Encode–Process–Decode GNN を使用する。
• 短い軌道で訓練し、動力学を洗練する残差GNN経路を用い、 injectedノイズによるプッシュフォワードの工夫を適用する。

Figure 1: Overview of DGNet architecture. The model centers on a hybrid operator $\mathbf{L}=\mathbf{L}_{\text{physics}}+\mathbf{L}_{\text{neural}}$ , where $\mathbf{L}_{\text{physics}}$ encodes gradient and Laplacian discretizations and $\mathbf{L}_{\text{neural}}$ is a GNN-based correction for mes

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散グリーン関数の定式化は、不規則領域上の時空間PDEソルバのデータ効率を改善できるか。
• RQ2 グリーン関数構造を埋め込むことで、豊富なデータがなくても未知のソース項への頑健な一般化を実現できるか。
• RQ3 物理–ニューロンハイブリッド演算子は、複雑な形状で純粋にデータ駆動あるいは純粋に物理ベースのソルバと比較してどうか。
• RQ4 拡散・対流・反応PDEにわたる限られた訓練軌道でモデルはどの程度精度を維持できるか。

主な発見

シナリオ	指標	DeepONet	MGN	MP-PDE	BENO	PhyMPGN	DGNet
Allen-Cahn	MSE	2.60e-01	2.70e-01	8.52e-01	2.52e+00	5.16e-01	8.75e-03
Allen-Cahn	RNE	0.6686	0.6813	1.2109	2.0813	0.9420	0.0188
Fisher-KPP	MSE	3.05e-02	3.66e-03	9.90e-02	6.26e-02	1.50e-02	2.59e-04
Fisher-KPP	RNE	0.4181	0.1448	0.7530	0.5989	0.9270	0.0238
FitzHugh-Nagumo	MSE	2.49e-06	3.75e-05	6.464e-06	2.14e-04	1.69e-03	1.18e-07
FitzHugh-Nagumo	RNE	0.9745	3.4815	1.4454	8.3106	23.5696	0.0952
Cylinder	MSE	4.44e-02	6.38e-03	9.31e-02	6.76e-02	4.13e-01	1.00e-04
Cylinder	RNE	0.5976	0.7154	0.8644	0.7364	1.8201	0.0196
Sediments	MSE	3.61e-02	5.94e-03	7.10e-03	1.07e-01	2.00e-01	4.60e-04
Sediments	RNE	0.4759	0.6103	0.6673	0.8180	1.1186	0.0282
Complex Obstacles	MSE	5.33e-02	7.79e-03	6.09e-03	7.66e-02	2.97e-01	6.69e-05
Complex Obstacles	RNE	0.5061	0.6120	0.5410	0.6069	1.1956	0.0211
Laser Heat	MSE	2.48e+03	4.98e+03	3.88e+03	1.95e+03	6.78e+03	1.76e+01
Laser Heat	RNE	0.1208	0.1711	0.1510	0.1071	0.1998	0.0102

• DGNetは、古典的・複雑な幾何学・未見ソースのシナリオで、訓練軌道 tens だけを用いて最先端の精度を達成する。
• 離散グリーンの定式化は重ね合わせ原理を保持し、データ効率を大幅に改善する強い帰納的バイアスを提供する。
• DGNetは、未見ソース項（レーザー熱）に対して堅牢なゼロショット一般化を示す一方、ベースラインは劣化する。
• 物理的な事前演算子とニューラル補正（L = L_physics + L_neural）を組み合わせた場合に優れた性能を示し、グリーン解法や priors を除くと結果が低下する。
• アブレーションは、グリーン成分が性能の中心であり、物理的 priors が構造的知識を提供することを示している。

Figure 2: Geometric variables for the discrete operator.