[論文レビュー] Diagonal Matrix Sequences and their Spectral Symbols

Giovanni Barbarino|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、実数値のスペクトル記号をもつ任意の対角行列系列が、置換行列を用いて再順序付けされることで、同じ記号をもつ一般化局所トーペリッツ（GLT）系列に変換可能であることを確立している。主な貢献は、固有値分布におけるスペクトル記号の同等性が、GLT系列を生成する置換の存在を示すことである。これは、測度論的収束と再配列技術を用いて、スペクトル記号理論とGLT代数的構造を結びつけるものである。

ABSTRACT

The spectral symbols are useful tools to analyse the eigenvalue distribution when dealing with high dimensional linear systems. Given a matrix sequence with an asymptotic symbol, the last one depends only on the spectra of the individual matrices, seen as a not ordered set. We can then focus only on diagonal sequences and sort the eigenvalues so that they become an approximation of the symbol sampling. We show that this is linked to the concept of diagonal Generalized Locally Toeplitz (GLT) sequences, and in particular we prove that any diagonal sequence with a real valued symbol can be permuted in order to obtain a diagonal GLT sequence with the same symbol.

研究の動機と目的

• 高次元線形系の文脈において、対角行列系列とそのスペクトル記号の関係を調査すること。
• 与えられたスペクトル記号をもつ対角系列が、同じ記号をもつ一般化局所トーペリッツ（GLT）系列に再順序付け可能かどうかを特定すること。
• 固有値の再配列と測度論的解析を用いて、スペクトル記号収束とGLT系列の構造との関係を確立すること。
• スペクトル記号をもつ行列系列の空間が、置換と収束に関してGLT代数的閉包と整合することを示すこと。

提案手法

• 本稿では、区間[0,1]における固有値の区分的線形補間を用いて測度収束を定義し、$\{D_n\}_n \rightharpoonup k(x)$ と表記する。
• 測度収束する対角系列が関数$k(x)$に収束するならば、弱収束する汎関数によるスペクトル記号の定義を用いて、$k(x)$がそのスペクトル記号であることを証明する。
• 著者らは固有値の非増加再配列の概念を導入し、順序付けられた固有値をもつ行列系列の構築に応用することで、測度論的収束結果の適用を可能にする。
• 近似クラスの系列（a.c.s.）収束を用いて、スペクトル記号収束とGLT収束を関連づけ、GLT系列が$\mathbb{C}$-代数としてa.c.s.収束に関して閉じているという事実を活用する。
• スペクトル記号を近似する連続関数の系列を構築し、それに対応する対角行列を用いて、同じ記号をもつGLT系列を構成する。
• 置換行列を用いて固有値を再順序付けし、結果として得られる系列がGLT記号条件を満たすようにする。最終的な結果は、GLT空間の代数的閉包により導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の実数値スペクトル記号をもつ対角行列系列が、置換により同じ記号をもつ一般化局所トーペリッツ（GLT）系列に再順序付け可能か？
• RQ2 固有値の順序は、補間関数がスペクトル記号に収束する過程にどのように影響するか？
• RQ3 対角行列の文脈において、スペクトル記号収束とGLT系列の構造との関係は何か？
• RQ4 対角系列にスペクトル記号が存在することは、それがGLT系列に変換可能な置換が存在することを示唆するか？

主な発見

• 任意の実数値スペクトル記号$f(x)$をもつ対角行列系列$\{D_n\}_n$は、置換行列$P_n$を用いて再順序付け可能であり、$\{P_n D_n P_n^T\}_n \sim_{GLT} f(x) \otimes 1$ が成り立つ。
• スペクトル記号は固有値の多重集合にのみ依存するため、順序の変更はスペクトル記号を保存する。
• 対角系列が関数$k(x)$に測度収束するならば、$k(x)$はそのスペクトル記号であることが保証され、測度収束とスペクトル記号収束との間の関係が確立される。
• 固有値の非増加再配列により、測度論的収束結果の適用が可能となり、スペクトル記号をもつ対角系列からGLT系列を構築できる。
• GLT空間はa.c.s.収束に関して閉じており、この性質を用いて、同じスペクトル記号をもつ2つの系列の差が、GLTの意味で漸近的にゼロであることを示せる。
• 最終的な結果は、GLT空間の代数的閉包を用いて導出され、再順序付けされた系列が記号$f(x) \otimes 1$ を引き継ぐことが示される。