[論文レビュー] Diagonal Representation of Open String Star and Moyal Product

D.M. Belov|ArXiv.org|Apr 19, 2002

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、物質およびゴースト系の両方において、開弦スターピルの対角表現を明示的に導出し、主要な演算子 $M^{rs}$ および $\tilde{M}^{rs}$ のスペクトルを計算することで、ムイヨル型の非可換構造が明らかになった。非可換性は二種類存在する：連続的パラメータ $\theta(\kappa)$ と離散的パラメータ $\theta_\xi$ であり、従来のストリング場理論におけるムイヨル代数実現の結果を、ゼロモードおよびゴースト系を含むように拡張した。

ABSTRACT

We explicitly find the spectrum of the operators $M^{rs}$ and $\widetilde{M}^{rs}$, which specify the star-product in the matter and ghost sectors correspondingly. Further we derive the diagonal representation for the 3-string vertices. Using this representation we identify the appearing Moyal structures in the matter sector. In addition to the continuous non-commutativity parameter $θ(κ)$ found in hep-th/0202087 we find the discrete non-commutativity parametrized by $θ_ξ$.

研究の動機と目的

• 開弦スターピルのムイヨル代数実現を、物質系のゼロモードおよびゴースト系を含むように一般化すること。
• ネウマン行列のスペクトル分解を用いて、物質およびゴースト系の両方における3弦頂点の対角表現を導出すること。
• 対角化された頂点形式において、ムイヨル型の非可換構造がどのように出現するかを特定すること。
• 3弦頂点を支配する演算子 $CU$、$UC$、$C\tilde{U}$、$\tilde{U}C$ の完全なスペクトルを計算および分類すること。
• 物質系およびゴースト系における連続的および離散的固有状態の完全な正規化およびスペクトル解析を提供すること。

提案手法

• 物質系における演算子 $CU$ および $UC$ のスペクトルを、固有値のパrametrization を用いて明示的に計算し、積分方程式を解く。
• 生成関数およびコーシー積分の技法を用いて、物質系における連続的および離散的スペクトルを抽出する。
• 演算子 $CU$、$UC$、$C\tilde{U}$、$\tilde{U}C$ の固有状態を用いて、3弦頂点の対角表現を構築する。
• 対角化された頂点を、非可換パラメータ $\theta(\kappa)$ および $\theta_\xi$ を持つムイヨル型代数の積に写像することで、ムイヨル構造を特定する。
• 特異性、特に連続スペクトルにおける特異性を扱うために、正則化および主値積分技法を適用する。
• 正規直交性を保証するため、$\mathcal{N}(\kappa)$、$\nu(\kappa)$、および $\Re F_c(\kappa)$ を含む導出式を用いて固有状態を正規化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル分解を用いて、物質系およびゴースト系における開弦スターピルをどのように対角化できるか。
• RQ2 3弦頂点を支配する演算子 $CU$、$UC$、$C\tilde{U}$、$\tilde{U}C$ の完全なスペクトル（連続的および離散的）は何か。
• RQ3 対角化された3弦頂点形式において、どのようにムイヨル型の非可換構造が出現するか。
• RQ4 連続的非可換パラメータ $\theta(\kappa)$ および離散的パラメータ $\theta_\xi$ は、スペクトル分解からどのように導かれるか。
• RQ5 物質系およびゴースト系における連続的および離散的固有状態の正しい正規化は何か。これにより3弦頂点と整合性が保たれるか。

主な発見

• 物質系の演算子 $CU$ のスペクトルには、連続的および離散的固有値が含まれ、連続スペクトルは $\kappa$ でパラメータ化され、離散スペクトルは $\xi$ でパラメータ化される。
• ゴースト系のスペクトル解析により、$C\tilde{U}$ および $\tilde{U}C$ に離散スペクトルが存在し、$\nu(\kappa)$ を含む超越方程式を解くことで固有値が決定される。
• 3弦頂点の対角表現は、$CU$、$UC$、$C\tilde{U}$、$\tilde{U}C$ の固有状態を用いて構築され、スペクトル基底において因数分解された形をとる。
• 物質系には非可換パラメータ $\theta(\kappa)$ を持つムイヨル構造が識別され、以前の結果と整合的であり、新たに離散的非可換パラメータ $\theta_\xi$ が発見された。
• 連続固有状態の正規化は、正規直交性を要求することで固定され、$V_0^{(\kappa)} = \left[\frac{b}{2}\right]^{1/2} [\mathcal{N}(\kappa)]^{-1/2} \left[4 + \kappa^2 (\Re F_c(\kappa) - b/4)^2 \right]^{-1/2}$ という式が得られる。
• 最終的な対角化された3弦頂点は、連続的および離散的スペクトルパラメータに依存するムイヨル型項の積として表現される。