[論文レビュー] Diagonal Stability of Discrete-time $k$-Positive linear Systems with Applications to Nonlinear Systems

Chengshuai Wu, Michael Margaliot|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2021

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$k$-正の線形システムにおける対角安定性の必要条件として、離散時間 $k$-対角安定性を導入する。これは、既知の結果（$k=1$ のとき、安定な正のシステムは常に対角安定）を一般化したものである。本稿は、楔積と合成行列を用いることで、離散時間非線形システムの安定性解析が可能になること、かつ $k=1$ の場合を越えて結果を拡張できることを示している。

ABSTRACT

A linear dynamical system is called $k$-positive if its dynamics maps the set of vectors with up to $k-1$ sign variations to itself. For $k=1$, this reduces to the important class of positive linear systems. Since stable positive linear time-invariant (LTI) systems always admit a diagonal quadratic Lyapunov function, i.e. they are diagonally stable, we may expect that this holds also for stable $k$-positive systems. We show that, in general, this is not the case both in the continuous-time (CT) and discrete-time (DT) case. We then focus on DT $k$-positive linear systems and introduce the new notion of DT $k$-diagonal stability. It is shown that this is a necessary condition for standard DT diagonal stability. We demonstrate an application of this new notion to the analysis of a class of DT nonlinear systems.

研究の動機と目的

• 安定な $k$-正の線形時不変（LTI）システムが、$k=1$ の場合（正のシステム）に既知の結果があるように、対角安定であるかどうかを調査すること。
• $k$-正のシステムに適した新しい安定性概念「離散時間 $k$-対角安定性」を定義し、その分析を行うこと。
• 楔積と合成行列を用いた幾何的枠組みを構築し、巡回的ダイナミクスを示す非線形システムの漸近的挙動を分析すること。
• $k$-対角安定性が、離散時間非線形システムのクラスにおける大域的漸近的安定性を保証することを示すこと。

提案手法

• 符号変化が高々 $k-1$ 個であるベクトルを同じ集合へ写像するシステムとして $k$-正のシステムを定義する。
• 行列 $A$ の $k$ 番目の合成行列 $A^{(k)}$ を用いて、正定値対角行列 $D \succ 0$ が存在し、$(A^{(k)})^T D A^{(k)} \prec D$ を満たすとき、離散時間 $k$-対角安定性を定義する。
• 楔積を用いて、$k$ 個の状態ベクトルが張る平行体の $k$ 次元体積（内容）を表現する。
• 状態ベクトルの $k$ 重楔積 $y(j) = \wedge_{i=1}^k x(j, a^i)$ を用いて、$k$-体積の時間発展を解析するためのリャプノフ関数 $V(y(j)) = y(j)^T D y(j)$ を構築する。
• $A$ が $k$-対角安定であるならば、$V(y(j))$ が単調に減少することを証明し、$k$-体積がゼロに収束することを示す。
• 非線形項 $φ$ が $φ$-内容を保存するという条件下で、離散時間非線形システム $x(j+1) = A\phi(x(j))$ にこの枠組みを適用し、$k$-対角安定性のもとで大域的漸近的安定性が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての安定な $k$-正の離散時間 LTI システムが、$k=1$ の場合に既知の結果（安定な正のシステムは常に対角安定）が成り立つように、対角安定であるかどうか。
• RQ2 $k$-正のシステムにおける対角安定性の適切な一般化は何か。また、標準的対角安定性とはどのように関係しているか。
• RQ3 楔積による $k$-体積の幾何的構造を用いて、巡回的ダイナミクスを示す非線形システムの安定性を解析できるか。
• RQ4 $A$ の $k$-対角安定性が、関連する非線形システム $x(j+1) = A\phi(x(j))$ の大域的漸近的安定性を示す条件は何か。
• RQ5 $A^{(k)}$ の合成行列とその固有値特性は、$k$-体積ダイナミクスの安定性とどのように関係しているか。

主な発見

• $k>1$ のとき、安定な $k$-正のシステムが離散時間においても常に対角安定であるとは限らない。これは、$k=1$ の結果が直接一般化されないことを示している。
• 本稿は、$k$-正のシステムにおける標準的対角安定性の必要条件として、離散時間 $k$-対角安定性を導入している。
• $\ell$-内容を保存する非線形性を有する離散時間非線形システムのクラスにおいて、$A$ の $k$-対角安定性がシステムの大域的漸近的安定性を保証する。
• $k$-対角安定性のもとでは、任意の $k$ 個の軌道の $k$-体積がゼロに収束する。これは、非自明な極小周期軌道が存在せず、状態空間内で直線への収束を示している。
• 例題4では、数値的に検証されており、$A$ がシュール行列でないにもかかわらず、$A^{(2)}$ がシュールで、かつ $A$ が $SR_2$ で $\epsilon_2 = 1$ であることから、$V(y(j)) = y(j)^T D y(j)$ が時間とともに減少することが確認されている。
• 本フレームワークは、楔積を用いた幾何的解釈を提供しており、$k$-体積のダイナミクスが合成行列 $A^{(k)}$ に従って進化することを示しており、$A^{(k)}$ の固有値特性を用いた安定性解析が可能である。