[論文レビュー] Diagonal Temperley-Lieb Invariants and Harmonics

Jean-Christophe Aval, François Bergeron+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、2n 個の変数を持つ ℚ[x,y] の環において、対角的 Temperley-Lieb 不変量と調和関数を導入し、n→∞ の極限において、新しい対角的準対称多項式の空間を定義し、その階数付きホップ代数構造を確立する。本稿は、対角的 Temperley-Lieb 不変量の空間が、対称関数と準対称関数のテンソル積に同型である階数付きホップ代数をなすことを証明し、定数項を除いた対称不変量による商が、ヒルベルト系列に正の整数係数を示す非自由加群であると予想する。

ABSTRACT

In the context of the ring Q[x,y], of polynomials in 2n variables x=x1,...,x_n and y=y1,...,yn, we introduce the notion of diagonally quasi-symmetric polynomials. These, also called "diagonal Temperley-Lieb invariants", make possible the further introduction of the space of "diagonal Temperley-Lieb harmonics" and "diagonal Temperley-Lieb coinvariant space". We present new results and conjectures concerning these spaces, as well as the space obtained as the quotient of the ring of diagonal Temperley-Lieb invariants by the ideal generated by constant term free diagonally symmetric invariants. We also describe how the space of diagonal Temperley-Lieb invariants affords a natural graded Hopf algebra structure, for n going to infinity. We finally show how this last space and its graded dual Hopf algebra are related to the well known Hopf algebras of symmetric functions, quasi-symmetric functions and noncommutative symmetric functions.

研究の動機と目的

• 2n 個の変数を持つ多項式環 ℚ[x,y] における対角的 Temperley-Lieb 不変量の空間を定義し、その研究を行う。
• 対角的準対称多項式の概念を導入し、それらが新しい調和的および余不変量空間の構成において果たす役割を明らかにする。
• 商空間 ℚ[x,y]/⟨DQSymₙ⁺⟩ および ℛₙ := DQSymₙ/⟨DSymₙ⁺⟩ の構造を調査し、特にそれらのヒルベルト系列と対称多項式上での自由性を検討する。
• n→∞ の極限において、対角的 Temperley-Lieb 不変量の空間に階数付きホップ代数構造を確立し、それらを対称関数、準対称関数、非可換対称関数と関連付ける。
• ℛₙ のヒルベルト系列が正の整数係数を持つと予想するが、DSymₙ 上での自由性に失敗する点と対照的である。

提案手法

• Temperley-Lieb代数 TLₙ が ℚ[x,y] に非乗法的かつ Hivert 型の作用を定義し、単項式のサポートを保存しながら添字を置換する。
• DQSymₙ を、この TLₙ の作用に関して不変な x と y の多項式の集合として定義する。
• 双組成と指数ベクトルへのシフト作用 φ を用いて、DQSymₙ の再帰的基底 Bₙ を構成し、n=1,2,3 に対して明示的な基底を計算する。
• n→∞ の極限において、対角的 Temperley-Lieb 不変量の空間が、乗法と整合する余乗法を備えた階数付きホップ代数をなすことを確立する。
• 同型およびプレシスティック置換を用いて、このホップ代数を古典的ホップ代数（対称関数の Sym、準対称関数の QSym、非可換対称関数の NSym）と関連付ける。
• プレシスティック置換を用いて ℛₙ のヒルベルト系列を解析し、自由性の期待される公式が負の係数を生じることを示し、DSymₙ 上での DQSymₙ の非自由性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n→∞ の極限において、対角的 Temperley-Lieb 不変量の空間は階数付きホップ代数をなすか？また、Sym、QSym、NSym のような古典的ホップ代数とどのように関係するか？
• RQ2 商空間 ℛₙ := DQSymₙ/⟨DSymₙ⁺⟩ は DSymₙ 上で自由加群か？そのヒルベルト系列は何か？
• RQ3 双組成に作用する φ および Φ の操作に基づいて構成された DQSymₙ の再帰的基底 Bₙ が、線形独立かつ生成するかを証明できるか？
• RQ4 n≤3 に対して正の整数係数を示す ℛₙ のヒルベルト系列が、一般化された公式に拡張可能か？その性質を満たすか？
• RQ5 DQSymₙ 内で定数項を除いた対角的対称不変量が生成するイデアルの正確な構造は何か？また、それらは商空間にどのように影響を与えるか？

主な発見

• n→∞ の極限において、対角的 Temperley-Lieb 不変量の空間は、乗法と整合する余乗法を備えた階数付きホップ代数をなす。
• n≤3 に対して、商空間 ℛₙ := DQSymₙ/⟨DSymₙ⁺⟩ のヒルベルト系列が行列形式で明示的に計算され、正の整数係数を示している。
• 期待されるヒルベルト系列の公式が負の係数を生じることから、DQSymₙ は DSymₙ 上で自由加群ではない。
• 双組成に作用する φ 操作に基づいて構成された再帰的基底 Bₙ は、DQSymₙ の線形基底であると予想され、n=1,2,3 に対して明示的な基底が確認されている。
• DQSymₙ は、双次数付き加群として DSymₙ と ℛₙ のテンソル積に同型であるが、非自明な関係が存在するため、この分解が自由性を示すものではない。
• n=2 および n=3 に対して ℛₙ のヒルベルト系列が正の要素を持つ行列として計算されており、[9] および [16] の手法の拡張により、より深い組合せ的構造が証明可能である可能性を示唆している。