[論文レビュー] Diagonalization of quasi-uniform tridiagonal matrices

Leonardo Banchi, Ruggero Vaia|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2012

Quantum and electron transport phenomena参考文献 16被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、大規模な準均一三重対角行列を、本質的均一性を活用して対角化する一般化された解析的手法を提示する。固有値は均一ケースのバンドを変形したものとして扱われ、固有ベクトルは再帰関係および特性多項式を用いて計算される。主な結果は、境界摂動を伴う系における状態密度および局在化した固有モードを解析的に取り扱えるフレームワークを提供することである。

ABSTRACT

The task of analytically diagonalizing a tridiagonal matrix can be considerably simplified when a part of the matrix is uniform. Such quasi-uniform matrices occur in several physical contexts, both classical and quantum, where one-dimensional interactions prevail. These include magnetic chains, 1D arrays of Josephson junctions or of quantum dots, boson and fermion hopping models, random walks, and so on. In such systems the bulk interactions are uniform, and differences may occur around the boundaries of the arrays. Since in the uniform case the spectrum consists of a band, we exploit the bulk uniformity of quasi-uniform tridiagonal matrices in order to express the spectral problem in terms of a variation of the distribution of eigenvalues in the band and of the corresponding eigenvectors. In the limit of large matrices this naturally leads to a deformation of the density of states which can be expressed analytically; a few out-of-band eigenvalues can show up and have to be accounted for separately. The general procedure is illustrated with some examples.

研究の動機と目的

• 本質的均一性と境界非均一性を有する大規模な対称三重対角行列を対角化する一般化された解析的手法を開発すること。
• 完全に均一な場合の固有値バンドからのずれとして、このような行列のスペクトル的性質を記述すること。
• 部分行列の特性多項式と再帰関係を用いて、固有ベクトルを体系的に計算する方法を提供すること。
• 境界摂動によって生じ得るバンド外固有値を扱うこと。
• 特に鏡像対称でない場合や複数の摂動を含む場合を含めた、従来の三重対角行列対角化結果の拡張・一般化を行うこと。

提案手法

• 本質的均一性を活用し、固有値を均一ケースのバンド λ = 2cos(k) のずれとしてモデル化し、非均一境界要素によって定義されるずれ φₖ を導入する。
• 特性多項式 χ_{μ:ν}(λ) の再帰関係を用い、式 (5) により固有ベクトル成分を計算する。この式は、固有ベクトル成分の積を部分行列の多項式に関連付ける。
• 式 (37) に示すように、最初の固有ベクトル成分 Oₖ₁ を特性多項式の比として明示的に表現する。この表現は非均一境界要素にのみ依存する。
• 式 (8) を用いた再帰的固有ベクトル構成により、行列要素 aₙ と bₙ を用いて Oₖ,ν₊₁ を Oₖ,ν と Oₖ,ν₋₁ で表す。
• 本質的均一性がある場合、全固有ベクトルは式 (7) の対称ケースに示すようにチェビシェフ多項式の積として表現できる。
• 関数 t(ξ)、u(ξ)、φₖ を用いたスペクトル変形形式を導入し、バンド内における状態密度および固有値分布の修正を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列が本質的に均一であるが境界で摂動を受ける準均一三重対角行列の固有値を、解析的にどのように記述できるか。
• RQ2 特に最初の成分と再帰による残りの成分を含めた、このような行列における固有ベクトルの解析的形は何か。
• RQ3 境界非均一性によってバンド内の状態密度がどのように変形されるか。この変形を解析的に表現できるか。
• RQ4 バンド外固有値がどのような条件下で出現するか。また、それらを別個に分離・計算する方法は何か。
• RQ5 鏡像対称でない場合や複数の摂動を含む場合を含め、既知の対称三重対角行列の結果（例えば Yueh (2005) の結果）を一般化できるか。

主な発見

• 準均一三重対角行列の固有値は、均一バンド λ = 2cos(k) の変形であり、非均一境界要素によって定まるずれ φₖ で与えられる。式 (24) および (25) で形式化されている。
• 最初の固有ベクトル成分 Oₖ₁ は非均一パrameterの有理関数として与えられ、式 (37) に示すように、再帰を用いて全固有ベクトルを効率的に計算可能である。
• 大規模な行列では、バンド内における状態密度は変形関数によって解析的に記述され、式 (48) の積分はすべての固有値がバンド内にある場合に 1 に評価される。
• バンド外固有値は出現し得るが、別個に取り扱われる。例えば x=0 かつ y を変化させる場合、y > √2 のとき、符号が反対の2組の固有値が出現する。
• 本手法は従来の結果を成功裏に一般化し、x=0, y=1, z=-1 のとき、Yueh (2005) の定理1を回復する。このとき φₖ = -3k/2 かつ kⱼ = 2πj/(2ℓ+1) が得られる。
• 本質的均一性がある場合、固有ベクトル成分は式 (7) の対称ケースに示すように、Oₖ₁ にチェビシェフ多項式の積を乗じた形で表現できる。