[論文レビュー] Diagonals of self-adjoint operators

William Arveson, Richard V. Kadison|ArXiv.org|Aug 24, 2005

Random Matrices and Applications参考文献 19被引用数 43

ひとこと要約

本稿はシュール＝ホーンの定理を無限次元設定に一般化し、ヒルベルト空間上の自己共役トレースクラス作用素の対角が、有限次元の場合と同様の不等式系によって特徴づけられることを確立する。主な貢献は、$II_1$ ファクターへのシュール＝ホーン枠組みの拡張であり、自己共役作用素の条件付き期待値の固有値分布が、元の作用素の固有値分布によって大きく抑えられることを証明している。

ABSTRACT

The eigenvalues of a self-adjoint nxn matrix A can be put into a decreasing sequence $λ=(λ_1,...,λ_n)$, with repetitions according to multiplicity, and the diagonal of A is a point of $R^n$ that bears some relation to $λ$. The Schur-Horn theorem characterizes that relation in terms of a system of linear inequalities. We give a new proof of the latter result for positive trace-class operators on infinite dimensional Hilbert spaces, generalizing results of one of us on the diagonals of projections. We also establish an appropriate counterpart of the Schur inequalities that relate spectral properties of self-adjoint operators in $II_1$ factors to their images under a conditional expectation onto a maximal abelian subalgebra.

研究の動機と目的

• 有限次元行列から無限次元ヒルベルト空間上の正のトレースクラス作用素へのシュール＝ホーンの定理の拡張を図ること。
• $II_1$ ファクターの文脈において、自己共役作用素の対角を固有値の大小関係によって特徴づけること。
• 有限ファクターにおける条件付き期待値下での自己共役作用素のスペクトル的性質とその対角との関係を理解するための枠組みを提供すること。
• $II_1$ ファクターにおけるユニタリ軌道の対角の集合が、元の作用素の固有値分布によって大きく抑えられる作用素の集合と一致するかどうかという未解決問題を解消すること。

提案手法

• 古典的シュール＝ホーンの定理を、凸関数の不等式から導かれる大小関係の不等式を用いて、対角に関する条件として再定式化する。
• $II_1$ ファクター $\mathcal{M}$ からその最大可換部分代数 $\mathcal{A}$ へのトレースを保存する条件付き期待値 $E: \mathcal{M} \to \mathcal{A}$ を用いる。
• 作用素に対する凸不等式を適用する：任意の連続な凸関数 $f$ に対して、$\mathcal{M}$ 内の自己共役 $A$ に対して $f(E(A)) \leq E(f(A))$ が成り立つ。
• $\tau(f(E(A))) \leq \tau(f(A))$ を用いて、$B = E(A)$ の固有値分布 $m_B$ が $A$ の固有値分布 $m_A$ によって大きく抑えられることを示す積分不等式を確立する。
• ハリー＝リトルウッド＝ポリアの不等式を用いて、大小関係と凸関数の不等式の同値性を示す。
• ユニタリ軌道の対角の集合が、$A$ の固有値分布によって大きく抑えられる $\mathcal{A}$ 内の自己共役作用素 $B$ の集合に含まれることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己共役トレースクラス作用素が無限次元ヒルベルト空間上に存在する場合、シュール＝ホーンの定理は拡張可能か？
• RQ2 $II_1$ ファクターの文脈において、シュール＝ホーンの不等式の適切な無限次元版は何か？
• RQ3 $II_1$ ファクター内の自己共役作用素のユニタリ軌道の対角の集合は、その元の作用素の固有値分布によって大きく抑えられる自己共役作用素の集合と正確に一致するか？
• RQ4 作用素における凸関数の不等式は、有限ファクターにおけるスペクトルの大小関係とどのように関係するか？
• RQ5 トレースを保存する条件付き期待値は、$II_1$ ファクター内での自己共役作用素の対角を特徴付ける際に果たす役割は何か？

主な発見

• 無限次元ヒルベルト空間上に自己共役トレースクラス作用素の対角は、有限次元の場合のシュール＝ホーンの定理と類似した線形不等式系によって特徴づけられる。
• $II_1$ ファクター $\mathcal{M}$ とその最大可換部分代数 $\mathcal{A}$、およびトレースを保存する条件付き期待値 $E: \mathcal{M} \to \mathcal{A}$ に対して、任意の自己共役 $A \in \mathcal{M}$ について、$E(A)$ の固有値分布は $A$ の固有値分布によって大きく抑えられる。
• $A$ のスペクトル上で定義されたすべての連続な凸関数 $f$ に対して不等式 $\tau(f(E(A))) \leq \tau(f(A))$ が成り立ち、これは $m_{E(A)} \preceq m_A$ を意味する。
• ユニタリ軌道 $\mathcal{O}_A$ の対角の集合は、$m_B \preceq m_A$ を満たす $\mathcal{A}$ 内の自己共役作用素 $B$ の集合に含まれる。これは必要条件を提供する。
• 本稿は、$II_1$ ファクターにおけるホーンの定理の自然な一般化を特定するが、包含関係 $E(\mathcal{O}_A) \supseteq \{ B \in \mathcal{A} \mid m_B \preceq m_A \}$ が成り立つかどうかは未解決のまま残している。
• 著者たちは、ネウマンの研究とは異なり、$\ell^\infty$-ノルムにおける閉包ではなく、対角そのものに注目することで、より細かい構造を保った。