[論文レビュー] Diagrams of classifying spaces and $k$-fold Boolean algebras

Eric Babson, Dmitry N. Kozlov|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文では、空間を図式のホモトピー極限として表現し、その図式における群作用を分析することにより、位相空間の群作用による商空間のホモロジーを計算するホモトピー論的技法を開発する。主な結果として、分類空間、スペクトル系列、およびブレード層化を用いて単体の対称的削除結合の $\mathbb{F}_2$-ホモロジーを完全に計算し、有限単体の場合には代替的な順序集合に基づく記述が得られる。

ABSTRACT

In this paper we study the problem of determining the homology groups of a quotient of a topological space by an action of a group. The method is to represent the original topological space as a homotopy limit of a diagram, and then act with the group on that diagram. Once it is possible to understand what the action of the group on every space in the diagram is, and what it does to the morphisms, we can compute the homology groups of the homotopy limit of this quotient diagram. Our motivating example is the symmetric deleted join of a simplicial complex. It can be represented as a diagram of symmetric deleted products. In the case where the simplicial complex in question is a simplex, we perform the complete computation of the homology groups with $\mathbb Z_p$ coefficients. For the infinite simplex the spaces in the quotient diagram are classifying spaces of various direct products of symmetric groups and diagram morphisms are induced by group homomorphisms. Combining Nakaoka's description of the $\mathbb Z_p$-homology of the symmetric group with a spectral sequence, we reduce the computation to an essentially combinatorial problem, which we then solve using the braid stratification of a sphere. Finally, we give another description of the problem in terms of posets and complete the computation for the case of a finite simplex.

研究の動機と目的

• 群作用による商空間のホモロジーを計算する一般的手法を開発すること。
• 単体的複体の対称的削除結合を、対称的削除積の図式として分析すること。
• 分類空間とスペクトル系列を用いて、単体の対称的削除結合の $\mathbb{F}_2$-ホモロジーを計算すること。
• 有限単体の場合に、問題を順序集合論的記述で与えること。
• 球面のブレード層化を用いてホモロジー計算を組合せ論的問題に還元すること。

提案手法

• 元の位相空間を空間の図式のホモトピー極限として表現する。
• 群を図式に作用させ、対象および射の両方における作用を追跡する。
• Nakaokaによる対称群の $\mathbb{F}_2$-ホモロジーの記述を用いて、商図式内の分類空間のホモロジーを分析する。
• スペクトル系列を適用して計算を組合せ論的問題に還元する。
• 球面のブレード層化を用いて得られた組合せ論的問題を解く。
• 有限単体の場合には、順序集合と $k$-重ブール代数を用いて問題を再定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 図式的ホモトピー極限を用いて、群作用による商空間のホモロジーをどのように計算できるか？
• RQ2 単体の対称的削除結合の $\mathbb{F}_2$-ホモロジーは何か？
• RQ3 単体における対称群の作用は、図式内の分類空間における作用にどのように対応するか？
• RQ4 幾何的層化を用いてホモロジー計算を組合せ論的問題に還元できるか？
• RQ5 有限単体の対称的削除結合の順序集合論的記述は何か？

主な発見

• 無限単体の対称的削除結合の $\mathbb{F}_2$-ホモロジーは、対称群の直積の分類空間を用いて計算される。
• スペクトル系列の還元により、球面のブレード層化を用いて解ける組合せ論的問題が得られる。
• 無限単体の場合、商図式内の空間は対称群の積の分類空間であり、射は群の準同型から誘導される。
• 無限単体の計算により、対称群のホモロジーと図式構造を用いた $\mathbb{F}_2$-ホモロジーの完全な記述が得られる。
• 有限単体の場合、問題は順序集合と $k$-重ブール代数を用いて再表現され、完全なホモロジー計算が可能になる。
• この手法により、幾何的および代数的技術を用いて、位相的ホモロジー問題を組合せ論的問題に成功裏に還元できる。