[論文レビュー] Diameter Versus Certificate Complexity of Boolean Functions

Kaspars Balodis|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、特定の入力における0-および1-証明書複雑性が両方とも $ C(f)^{2-o(1)} $ 以上であるような単調な部分ブール関数を構築し、長年のクエリ複雑性のパズルにおける最適な指数を達成した。変数ペアの構造的行列上でのランダム関数を用いることで、証明書複雑性が最小の証明書サイズの2乗以上に達することを示し、計算複雑性理論における重要な未解決問題を解決した。この結果は、感度、多項式次数、通信複雑性の複数の複雑性測度における近似的に最良の分離を示唆する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a measure of Boolean functions we call diameter, that captures the relationship between certificate complexity and several other measures of Boolean functions. Our measure can be viewed as a variation on alternating number, but while alternating number can be exponentially larger than certificate complexity, we show that diameter is always upper bounded by certificate complexity. We argue that estimating diameter may help to get improved bounds on certificate complexity in terms of sensitivity, and other measures. Previous results due to Lin and Zhang [Krishnamoorthy Dinesh and Jayalal Sarma, 2018] imply that s(f) ≥ Ω(n^{1/3}) for transitive functions with constant alternating number. We improve and extend this bound and prove that s(f) ≥ √n for transitive functions with constant alternating number, as well as for transitive functions with constant diameter. {We also show that bs(f) ≥ Ω(n^{3/7}) for transitive functions under the weaker condition that the "minimum" diameter is constant.} Furthermore, we prove that the log-rank conjecture holds for functions of the form f(x ⊕ y) for functions f with diameter bounded above by a polynomial of the logarithm of the Fourier sparsity of the function f.

研究の動機と目的

• クエリ複雑性における長年の未解決問題を解決すること：ある入力 $ x \in f^{-1}(\ast) $ に対して、$ \bar{C}_0(f,x) $ および $ \bar{C}_1(f,x) $ が両方とも $ C(f)^{2-o(1)} $ 以上であるような部分ブール関数が存在するか。
• パズルの定式化における最適な指数 $ \alpha = 2 $ を達成する関数を構築すること。これにより、以前の $ \alpha = 1.5 $ の構成を改善する。
• 証明書複雑性 $ C(f) $ と多項式次数 $ \deg(f) $ の間の近似的に最良の分離を確立すること。1995年の Kushilevitz と Nisan の結果を改善する。
• Clique vs. Independent Set 問題および Alon–Saks–Seymour 問題を含む、複雑性理論におけるいくつかの基本的問題に対する新たなタイトな下界を導出すること。

提案手法

• 変数が $ 2n^2 $ 個ある部分ブール関数 $ f $ を定義し、各変数を $ n \times n $ のペア $ (x_{i,j,1}, x_{i,j,2}) $ の行列として構造化する。各エントリは2つのビットのペアを表す。
• $ \ell = \log n $ 個の独立なランダム関数 $ r_k: [n] \times [n] \to [n] $ を用い、各ペアの行に対して関連する行を定義することで、複雑な依存関係構造を構築する。
• $ f(x) = 1 $ であるのは、すべての列で一致する行のペア（一致するエントリを持つ）が存在し、かつそれらに関連する行がすべて「悪くない」（(0,0）エントリを含まない）場合。
• $ f(x) = 0 $ であるのは、サイズが $ (2\ell + 2)n $ 以下の0証明書割り当てが存在する場合。それ以外の場合は $ f(x) = \ast $。
• 対角成分が (1,0)、非対角成分が (0,1) の入力 $ z $ を分析し、$ f(z) \neq 1 $ であることを保証する。確率的数え上げとチェルノフ不等式を用いて、任意の $ \bar{0} $-証明書が大きくなることを証明する。
• 補題1を用いて、ランダム部分集合下での「汚れていない」一致する行ペアの数を抑え、$ \ell \cdot n $ 個のペアしか残らないことを示し、$ O(n) $ 個の変数で効率的な0証明が可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分ブール関数を構築可能か？ ある入力 $ x \in f^{-1}(\ast) $ に対して、$ \bar{C}_0(f,x) $ および $ \bar{C}_1(f,x) $ が両方とも $ C(f)^{2-o(1)} $ 以上であるか。
• RQ2 パズルの定式化における指数 $ \alpha = 2 $ は最適であり、達成可能か？
• RQ3 このような関数は、証明書複雑性 $ C(f) $ と多項式次数 $ \deg(f) $ の間で近似的に最良の分離を示唆するか？
• RQ4 この構成により、Clique vs. Independent Set 問題および Alon–Saks–Seymour 問題に対するタイトな下界が得られるか？
• RQ5 この結果は、感度と多項式次数の既知の分離を改善するか？

主な発見

• この論文は、特定の入力 $ z \in f^{-1}(\ast) $ に対して、$ \bar{C}_0(f,z) $ および $ \bar{C}_1(f,z) $ が両方とも $ C(f)^{2-o(1)} $ 以上であるような単調な部分ブール関数 $ f $ を構築した。これにより、パズルにおける最適な指数が達成された。
• この構成により $ C(f) \geq \Omega(\deg(f)^{2-o(1)}) $ が得られ、Kushilevitz と Nisan の1995年の結果に続く最初の改善である。
• Clique vs. Independent Set 問題における証明可能でない通信複雑性に $ \Omega(\log^{2-o(1)} n) $ ビットの近似的に最良の下界を確立した。
• Alon–Saks–Seymour 問題において、$ \chi(G) \geq \exp(\Omega(\log^{2-o(1)} \operatorname{bp}(H))) $ の近似的に最良の下界を導出し、最良の既知の上界と下位項を除いて一致する。
• この結果により $ C(f) \geq \Omega(s(f)^{3-o(1)}) $ が得られ、以前の最良の分離 $ s(f)^{2.5} $ よりも改善された。
• 解析により、$ C_1(f) = \tilde{\Omega}(n) $、$ C_0(f) = \tilde{\Omega}(n) $、$ \bar{C}_1(f,z) = n^{2-o(1)} $、$ \bar{C}_0(f,z) = n^{2-o(1)} $ であることが示され、漸近的成長が確認された。