[論文レビュー] Diamond-free Degree Sequences

Alice Miller, Patrick Prosser|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2012

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、算術的制約（非ゼロ次数が3で割り切れる、全辺数が6で割り切れる）を満たす、ダイアモンド自由なグラフのすべての次数列を生成する2段階の制約プログラミングモデルを提案する。手法はまず、算術的制約と図形可能性制約を満たす有効な次数列を生成し、次に対称性を崩す制約とグラフ制約を用いてダイアモンド自由な実現可能性を確認する。n=8から16について、すべてのこのような次数列を計算に成功し、最長でn=16の計算に約5分を要した。

ABSTRACT

We introduce a new problem, CSPLib problem number 50, to generate all degree sequences that have a corresponding diamond-free graph with secondary properties. This problem arises naturally from a problem in mathematics to do with balanced incomplete block designs; we devote a section of this paper to this. The problem itself is challenging with respect to computational effort arising from the large number of symmetries within the models. We introduce two models for this problem. The second model is an improvement on the first, and this improvement largely consists of breaking the problem into two stages, the first stage producing graphical degree sequences that satisfy arithmetic constraints and the second part testing that there exists a graph with that degree sequence that is diamond-free.

研究の動機と目的

• 特定の算術的制約（非ゼロ次数が3で割り切れる、全次数和が12で割り切れる）を満たす、ダイアモンド自由な単純グラフのすべての次数列を生成すること。
• このようなグラフの探索空間における高い対称性が引き起こす計算上の課題に対処すること。
• ブロックデザインのアルゴリズム拡張の文脈において、補グラフがダイアモンド自由である4^s4構造の分類を支援すること。
• ブロックデザインアルゴリズムから生じる部分線形空間の分類における証明を簡略化するために、n=8から16について検証済みの次数列を提供すること。
• 標準的手法が失敗する場合でも、ブロックサイズ4のブロックデザイン生成を保証するように、アルゴリズムを修正可能にするための支援をすること。

提案手法

• Model Aは、隣接行列変数、次数制約、ダイアモンド自由制約を含む単一の制約プログラミング定式化を用いるが、対称性と探索空間の大きさのため実用的でない。
• Model Bは問題を2段階に分割する：まず、Havel-Hakimiアルゴリズムを用いて算術的制約と図形可能性制約を満たす次数列を生成し、次にダイアモンド自由な実現可能性を確認する。
• 2段階目では、隣接行列変数を用い、4頂点部分集合が最大4本の辺しか持てない（ダイアモンド自由条件）ことを制約で強制する。
• 頂点次数が等しい場合の隣接行列の行に対して辞書式順序を強制することで、静的対称性の崩しを実施する。
• 次数の順序、3で割り切れる、全和が12で割り切れるという制約を用いて次数列を生成する。
• すべての解は、制約プログラミングを用いない別プログラムを用いて独立に検証され、グラフ実現可能性、次数列の正しさ、ダイアモンド自由性が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたnに対して、すべての単純でダイアモンド自由なグラフの次数列は何か？ただし、各次数は3で割り切れ、全辺数は6で割り切れるものとする。
• RQ2 このようなグラフの探索空間における対称性を効果的に崩す方法は何か？
• RQ3 まず有効な次数列を生成し、次にダイアモンド自由な実現可能性を確認する2段階アプローチは、モノリシックな制約モデルに比べて著しく性能向上を達成できるか？
• RQ4 補グラフがダイアモンド自由である場合、4^s4構造にどのような構造的性質があるか？また、それらは次数列を用いてどのように分類できるか？
• RQ5 得られた結果を用いて、標準アルゴリズムが失敗する場合でも、ブロックサイズ4のブロックデザイン生成を保証するように、Stinsonのアルゴリズムを修正可能か？

主な発見

• Model Bを用いて、n=8からn=16について、すべての有効な次数列を成功裏に計算した。n=16の最長実行時間は約5分であった。
• Model Aは、過剰な対称性と探索空間の大きさのため実用的でなかったが、Model Bの2段階設計により、計算効率と対称性の崩しが可能になった。
• Havel-Hakimiアルゴリズムを用いて次数列の図形可能性を効果的にテストし、実現可能な次数列のみが2段階目に渡された。
• 次数が等しい頂点の隣接行列の行に対して辞書式順序を強制する静的対称性の崩しは、探索空間を著しく削減し、性能向上をもたらした。
• すべての計算された次数列は、別プログラムを用いて独立に検証され、グラフ実現可能性、次数列の正しさ、ダイアモンド自由性が確認された。
• 結果は、補グラフがダイアモンド自由である4^s4構造の分類における証明の簡略化に使用されており、特に最大ブロック数が1または0のケースで特に有効である。