[論文レビュー] Dichotomic probability representation of quantum states

Margarita A. Man’ko, V. I. Manʹko+3 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2019

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$d(d-1)$ 組の二値確率変数を用いて、クイド密度行列に対する体系的で二分型の確率表現を確立し、任意の $d \times d$ 密度行列が $d^2 - 1$ 組の二値確率分布によって完全にパラメータ化可能であることを証明している。この手法により、行列要素に関する新しいエントロピー的および行列式の不等式が導かれる。特に qubit および qutrit 状態について明示的な導出が行われ、量子状態トモグラフィーおよび再構成精度制御のための古典的類似の統計的枠組みが提供される。

ABSTRACT

We present systematic proofs of statements about probability representations of qudit density states in terms of standard probability distributions of dichotomic random variables. New relations and new entropic-information inequalities are derived. The examples of 3- and 4- level states are explicitly worked out.

研究の動機と目的

• クイド密度行列の厳密な確率的表現を、二値確率変数のみを用いて確立すること。
• 任意の $d \times d$ 密度行列が $d^2 - 1$ 組の二値結果の確率分布によって完全にパラメータ化可能であることを証明すること。
• この表現に基づいて、密度演算子の行列要素に関する新しいエントロピー的および行列式の不等式を導出すること。
• $d=nm$ 次元状態を $n \times n$ および $m \times m$ の部分状態に分解し、量子状態の性質を保存することを可能にすること。
• 量子トモグラフィーおよび実験的再構成精度制御のための古典的類似の統計的枠組みを提供すること。

提案手法

• この手法は、$\mathbb{C}^d$ 内に $d(d-1)$ 個の複素平面を構築し、それぞれが $\mathfrak{u}(2)$ リー代数に同型であり、$U(2)$ に同型である。これにより、二値確率によるトモグラフィック記述が可能になる。
• 各 $\mathfrak{u}(2)$ の部分代数に対して、密度行列の要素が、2次元部分空間への射影子を用いて二値結果の確率 $p_a^{(jk)}$ に写像される。
• この表現は、密度行列の非負性を保証するためのシルベスターの基準に依拠しており、確率分布の物理的妥当性が保証される。
• トレース保存の縮約を用いて、$d=nm$ 次元状態を、ヒルベルト性、トレース、正定値性を保った $n \times n$ および $m \times m$ の縮約密度行列に分解する。
• Tsallis の相対エントロピーと確率の対数関数を用いてエントロピー的不等式を導出し、行列要素の上限を得る。
• qubit ($d=2$) および qutrit ($d=3$) 状態について明示的な計算が行われ、本手法の整合性と適用可能性が示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $d \times d$ 密度行列は、$d^2 - 1$ 組の二値確率分布によって正確にパラメータ化可能か？
• RQ2 二値確率が、有効な密度演算子（エルミート、トレース1、半正定値）を生成するための必要十分条件は何か？
• RQ3 この確率表現から、クイド密度行列の行列要素を含むエントロピー的不等式をどのように導出できるか？
• RQ4 $d=nm$ 次元のクイド状態を、$n \times n$ および $m \times m$ の密度行列に分解し、量子状態の性質を保存できるか？
• RQ5 この表現から、縮約密度行列の固有値および行列式に関する新しい不等式は何か？

主な発見

• 定理 2.1 で示されるように、$d \times d$ 密度行列は $d^2 - 1$ 組の二値確率分布によって正確にパラメータ化可能である。
• 行列要素 $\rho_{jk}$ は、非負性を保証するためのシルベスターの基準を満たす確率 $p_a^{(jk)}$ で表現される。
• qubit の場合、$p_1 = \frac{1}{2} + \mathrm{Re}\,\rho_{12}$、$p_2 = \frac{1}{2} - \mathrm{Im}\,\rho_{12}$、$p_3 = \rho_{11}$ として、行列要素と確率が明示的に関係づけられる。
• Tsallis の相対エントロピーを用いて新しいエントロピー的不等式が導出され、たとえば $ (1-q)^{-1}\left\{ \left(\frac{1}{2}+\mathrm{Re}\rho_{12}\right)^q\left(\frac{1}{2}-\mathrm{Im}\rho_{12}\right)^{1-q} + \cdots - 1 \right\} \geq 0 $ のような不等式が得られる。
• 本手法により、$d=nm$ 次元状態を $n \times n$ および $m \times m$ の部分状態に反復的に縮約でき、$\rho^\dagger = \rho$、$\mathrm{Tr}\,\rho = 1$、$\rho \geq 0$ を保持する。これにより、新しい行列式および固有値の関係が得られる。
• 確率表現により、単体の辺に沿った直交射影を用いた、量子状態の古典的類似の分解が可能となり、量子状態の時間発展およびトモグラフィーのための新しい幾何的解釈が得られる。