[論文レビュー] Dichotomies for Maximum Matching Cut: $H$-Freeness, Bounded Diameter, Bounded Radius

Felicia Lucke, Daniël Paulusma+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、H-freeグラフ、有界直径、有界半径のグラフにおける最大マッチングカット問題について、完全な二分法を確立する。グラフクラスが H ⊆i sP₂ + P₆、有界直径 ≤2、または有界半径 ≤1 に制限される場合には多項式時間で解けることを証明し、それ以外の場合はNP困難であることを示し、マッチングカットおよび完全マッチングカットに関する先行研究を最適化設定に拡張する。新規の技術的アプローチと、非連結完全マッチングへの応用を含む。

ABSTRACT

The (Perfect) Matching Cut problem is to decide if a graph $G$ has a (perfect) matching cut, i.e., a (perfect) matching that is also an edge cut of $G$. Both Matching Cut and Perfect Matching Cut are known to be NP-complete. A perfect matching cut is also a matching cut with maximum number of edges. To increase our understanding of the relationship between the two problems, we perform a complexity study for the Maximum Matching Cut problem, which is to determine a largest matching cut in a graph. Our results yield full dichotomies of Maximum Matching Cut for graphs of bounded diameter, bounded radius and $H$-free graphs. A disconnected perfect matching of a graph $G$ is a perfect matching that contains a matching cut of $G$. We also show how our new techniques can be used for finding a disconnected perfect matching with a largest matching cut for special graph classes. In this way we can prove that the decision problem Disconnected Perfect Matching is polynomial-time solvable for $(P_6+sP_2)$-free graphs for every $s\geq 0$, extending a known result for $P_5$-free graphs (Bouquet and Picouleau, 2020).

研究の動機と目的

• 主なグラフクラス、すなわちH-freeグラフ、有界直径、有界半径のグラフにおける最大マッチングカット問題の計算複雑性を分類すること。
• マッチングカットおよび完全マッチングカットの既知の多項式時間アルゴリズムを、最適化版である最大マッチングカットに拡張すること。
• 特に特殊なグラフクラスにおいて、最大マッチングカットと関連する問題である非連結完全マッチングの関係を調査すること。
• 直径3および半径2のグラフクラスにおける完全マッチングカットおよび非連結完全マッチングの複雑性に関する未解決問題を解明すること。
• 最大マッチングカットおよび最大非連結完全マッチングの両者に一般化可能な、新規の構造的技術を統合したフレームワークを提供すること。

提案手法

• 特に禁止部分グラフおよび直径／半径の制約に注目し、大きなマッチングカットをもつグラフの新しい構造的特徴づけを考案した。
• 2P₃-freeで直径3、半径2の四角形化グラフに対してNP困難性を示すために、還元技術を用いた。ここでマッチングカットは既知の多項式時間で解ける。
• P₆-freeおよび(P₆ + sP₂)-freeグラフに関する既知の結果を活用し、最大マッチングカットおよび最大非連結完全マッチングへの多項式時間アルゴリズムの拡張を実現した。
• 頂点削除閉包および遺伝的クラス解析の技術を用いて、Hの構造に基づきH-freeグラフを分類した。
• 最大マッチングカットの複雑性の二分法が、同じグラフ制約下で最大非連結完全マッチングに対しても同様に成り立つことを証明した。
• 完全マッチングにマッチングカットを含む「非連結完全マッチング」の概念を活用し、(P₆ + sP₂)-freeグラフに対する新しい多項式時間アルゴリズムを導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフクラスにおいて最大マッチングカットは多項式時間で解けるか、どのクラスではNP困難か？
• RQ2 H-free、有界直径、有界半径のグラフにおいて、最大マッチングカットの複雑性はマッチングカットおよび完全マッチングカットのそれと比べてどう異なるか？
• RQ3 最大マッチングカットに用いられた技術は、非連結完全マッチングの最適化版に適応可能か？
• RQ4 直径3のグラフにおける完全マッチングカットの複雑性は何か？半径2のグラフにおける非連結完全マッチングの複雑性は何か？
• RQ5 H-freeグラフにおいて非連結完全マッチングが多項式時間で解けるならば、(H + P₃)-freeグラフに対しても同様に成り立つか？

主な発見

• 直径が2以下であるグラフでは最大マッチングカットが多項式時間で解けることが示され、直径が3以上ではNP困難であることが示され、二分法が確立された。
• 半径が1以下であるグラフでは最大マッチングカットが多項式時間で解けることが示され、半径が2以上ではNP困難であることが示され、完全な二分法が得られた。
• H ⊆i sP₂ + P₆（s ≥ 0）であるH-freeグラフでは最大マッチングカットが多項式時間で解けるが、K₁,₃、2P₃、またはCr（r ≥ 3）を含むHではNP困難である。
• 最大非連結完全マッチングに対しても同様の二分法が成り立ち、(P₆ + sP₂)-freeグラフ（任意のs ≥ 0）では多項式時間で解けることが証明された。
• 本稿は、P₅-freeグラフに対する先行結果を拡張し、非連結完全マッチングが(P₆ + sP₂)-freeグラフにおいて多項式時間で解けることを示すことで、未解決問題を解決した。
• 著者らは、四角形化グラフにおいてマッチングカットが多項式時間で解けるにもかかわらず、2P₃-freeで直径3、半径2の四角形化グラフに対して、最大マッチングカットがNP困難であることを証明した。