[論文レビュー] Dichotomous Markov noise: Exact results for out-of-equilibrium systems. A review

Iosif Bena|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2006

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 206被引用数 151

ひとこと要約

本稿では、有限の相関時間を有する非ガウス的で色ありのノイズである2値マルコフノイズ（DMN）によって駆動される非平衡系の正確な解析的解を提示する。不安定な固定点を通過する場合、標準的な長時間近似が失敗することを示し、そのような状況における修正された解析的取り扱いを導出。ラチェットや輸送モデルのような系において、非自明なノイズ誘導的行動が明らかとなり、非線形で非平衡的なダイナミクスにおける正確な解析の観点から、ガウス白色ノイズの代替としてDMNが有効であることが示された。

ABSTRACT

Nonequilibrium systems driven by additive or multiplicative dichotomous Markov noise appear in a wide variety of physical and mathematical models. We review here some prototypical examples, with an emphasis on {\em analytically-solvable} situations. In particular, it has escaped attention till recently that the standard results for the long-time properties of such systems cannot be applied when unstable fixed points are crossed in the asymptotic regime. We show how calculations have to be modified to deal with these cases and present a few relevant applications -- the hypersensitive transport, the rocking ratchet, and the stochastic Stokes' drift. These results reinforce the impression that dichotomous noise can be put on a par with Gaussian white noise as far as obtaining analytical results is concerned. They convincingly illustrate the interplay between noise and nonlinearity in generating nontrivial behaviors of nonequilibrium systems and point to various practical applications.

研究の動機と目的

• 2値マルコフノイズ（DMN）によって駆動される非平衡系の解析的取り扱いにおける長年の空白、特に漸近的状態で不安定固定点を通過する場合に焦点を当てる。
• 不安定固定点が存在する場合に標準的な長時間近似が破綻することを是正する。これは先行研究で見過ごされてきた。
• 非ガウス的かつ色ありの性質を持つDMNであっても、ガウス白色ノイズと同等の正確な解析的結果が得られることを示す。
• ノイズと非線形性の相乗作用が、指向的輸送や確率的共鳴といった複雑な行動を生じることを説明する。
• ガウスノイズ近似が不適切または曖昧になる系において、DMNをモデリングツールとして用いるための厳密な基礎を提供する。

提案手法

• 加法的および乗法的DMNによって駆動される系のFokker-Planck方程式の正確な時間発展を、マスター方程式の手法を用いて導出する。
• 確率的リウヴィル方程式とVan Kampenの補題を適用し、ノイズの関数的微分を扱い、非マルコフ的効果が存在する場合の整合性を保証する。
• ノイズの関数的微分を扱うためにShapiro-Longinovの公式を用い、モーメントおよび確率密度関数の正確な表現を導出する。
• 不安定固定点を考慮に入れるために、系の確率分布の漸近的挙動を再定義する修正された摂動的アプローチを導入する。
• 後向きFokker-Planck方程式から導かれる不変測度および定常確率密度関数を通じて、系の応答を分析する。
• DMNが適切な極限において白色ショットノイズおよびガウス白色ノイズに写像可能であることを示し、離散的・連続的ノイズモデルの間の橋渡しとしての有効性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ2値マルコフノイズ（DMN）によって駆動される系の標準的な長時間解析的結果は、不安定固定点を通過する際に失敗するのか？
• RQ2 不安定固定点を有する確率的系がDMNによって駆動される場合、その漸近的挙動を正しくモデル化するにはどうすればよいか？
• RQ3 非線形系がDMNによって駆動される場合の、第一到達時間および定常分布の正確な解析的解は何か？
• RQ4 DMNは、ガウスノイズ近似では捉えきれない非自明な輸送や相転移をどのように誘導するか？
• RQ5 DMNは、非平衡系の解析的に解けるモデルにおいて、ガウス白色ノイズの厳密な代替として用いることができるか？

主な発見

• DMNによって駆動される系の標準的な長時間近似は、不安定固定点を通過する際に破綻し、定常確率密度に関する誤った予測を生じる。
• 不安定固定点を通過する系の進化を適切に扱う修正された解析的取り扱いが導出され、漸近的確率密度関数の正確な表現が得られた。
• 本稿では、DMN下での不安定固定点を有する系の不変測度が、固定点に集中するデルタ関数ではなく、有限の幅を持つ非自明な分布であることが示された。
• ハイパーサンシティブ輸送モデルにおいて、正確な解が、電流がノイズパラメータに対して非単調的依存を示すことを明らかにした。これは線形近似では予測できない共鳴的挙動を示している。
• ロッキングラチェットモデルにおいて、正確な解は、純粋にDMNの非対称性と系の非線形性によっても、ネットバイアスがなくても指向的輸送が存在することを確認した。
• DMN下での確率的ストークスのずれが正確に解けることが示され、平均変位が√D/τcに比例することを確認した。これにより、ノイズ誘導的ずれの非ガウス的性質が裏付けられた。