[論文レビュー] Différentielles à singularités prescrites

Quentin Gendron, Guillaume Tahar|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Meromorphic and Entire Functions被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、リーマン面における指定された零点・極の位数と、極における指定された $k$-残留分をもつメラモーフィック $k$-微分形式の存在を検討する。代数的・幾何的技法を用いて、$g \geq 2$ あるいは $g=1$ かつ $k \neq 2$ の場合、すべての期待される残留分の組が実現可能であることを示す。一方、 genus 0 および $k=1$ または $k \geq 3$ の場合、特定の残留分の組には障害があり、アーベル微分形式および二次微分形式の場合のこれらの障害が明示的に特徴付けられる。

ABSTRACT

We study the local invariants that a meromorphic $k$-differential on a Riemann surface of genus $g\geq0$ can have. These local invariants are the orders of zeros and poles, and the $k$-residues at the poles. We show that for a given pattern of orders of zeroes, there exists, up to a few exceptions, a primitive $k$-differential having these orders of zero. The same is true for meromorphic $k$-differentials and in this case, we describe the tuples of complex numbers that can appear as $k$-residues at their poles. For genus $g\geq2$, it turns out that every expected tuple appears as $k$-residues. On the other hand, some expected tuples are not the $k$-residues of a $k$-differential in some remaining strata. This happens in the quadratic case in genus $1$ and in genus zero for every $k$. We also give consequences of these results in algebraic and flat geometry.

研究の動機と目的

• リーマン面の genus $g \geq 0$ に対して、零点・極の位数および $k$-残留分といった局所的不変量が、メラモーフィック $k$-微分形式によって実現可能かどうかを同定すること。
• さまざまな genus および $k$ に対して、$k$-微分形式の極における $k$-残留分の集合を特徴づけること。
• 特にアーベル微分形式（$k=1$）および二次微分形式（$k=2$）の場合に、指定された特異点および残留分をもつ $k$-微分形式の存在問題を解消すること。
• 特に genus 0 および $k=1$ または $k \geq 3$ の場合に、特定の残留分の組が実現できない障害を同定し、例外的な場合を記述すること。

提案手法

• 著者らは、$k$-微分形式のモジュライ空間、特に指定された零点・極の位数によって定義されるストラタに注目し、代数幾何学および平坦な曲面理論を用いて分析する。
• 彼らは $k$-残留分定理を適用し、極の位数が $k$ で割り切れるかどうかに依存する $k$-残留分の可能な値を制約し、全残留分の条件 $\sum \operatorname{Res}^k_P(\xi) = 0$ を用いる。
• genus $g \geq 2$ の場合、モジュライ空間における変形および存在定理を用いて、すべての期待される残留分の組が実現可能であることを示す。
• genus 0 の場合、グラフ論的表現と残留分条件を用いて障害集合を分析し、$k=2$ の場合、一部のストラタにおいて2次元の局所的集合を除き、特定の残留分の組が実現できないことを示す。
• 彼らは $k$-微分形式におけるミッターグレーファー型定理を用い、問題をシリンダ分解およびトランスレーション構造に関連付ける。
• アーベル微分形式（$k=1$）の場合、唯一実現できない残留分構成は、特定のストラタにおいてゼロの組または同一直線上にある組であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた genus $g$ および $k$-微分形式の型 $\mu$ に対して、指定された零点・極の位数をもつメラモーフィック $k$-微分形式の極における $k$-残留分の組として実現可能なものはどれか？
• RQ2 genus 0 において $k=1$ または $k \geq 3$ の場合、どの残留分の組が $k$-微分形式の $k$-残留分として実現できないか？
• RQ3 genus 1 における二次微分形式（$k=2$）について、特定の残留分の組が実現できないストラタは存在するか？もし存在するならば、そのような族はいくつあるか？
• RQ4 genus 0 において $k=2$ の場合、非実現可能な残留分の組の集合の次元は何か？また、ストラタごとにどのように変化するか？
• RQ5 全残留分条件と局所的 $k$-残留分の制約が、さまざまな genus および $k$-型において実現可能性をどのように決定するか？

主な発見

• genus $g \geq 2$ または $g=1$ かつ $k \neq 2$ の場合、すべての期待される $k$-残留分の組が、メラモーフィック $k$-微分形式の $k$-残留分として実現可能である。
• genus 0 において $k=1$ または $k \geq 3$ の場合、実現できない残留分の組は有限個（スケーリングを除いて）存在し、アーベルの場合（$k=1$）では、ゼロの組または同一直線上にある組が唯一の例外である。
• genus 1 における二次微分形式（$k=2$）について、定理1.2で示されるように、4つのストラタ族がそれぞれ1つの非実現可能な残留分の組を含む。
• genus 0 において $k=2$ の場合、定理1.13で示されるように、特定のストラタにおいて2次元の局所的集合を除き、一部の残留分の組が実現できない。
• 実現可能な $k$-残留分の空間は、残留分条件 $\sum \operatorname{Res}^k_P(\xi) = 0$ によって完全に記述され、さらに極の位数が $k$ で割り切れるかどうかに依存する追加の制約がある。$k$-微分形式の存在は、これらの条件が十分でない場合にのみ障害を受ける。
• 原始的 $k$-微分形式の場合、ストラタの次元は $2g - 2 + n + p + r + s$ であり、指定された特異点および残留分をもつような微分形式の存在は、この次元と残留分制約の相互作用によって支配される。