[論文レビュー] Diffeology: A Concrete Foundation for Stacks

Jordan Watts, Seth Wolbert|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、代表的なリー群ガロア群による表現を用いて、微分可能スタック上の基本微分形式とその作用の軌道空間上の微分形式の間の同型を示すことにより、微分形式の空間が微分可能スタックの幾何的性質を特徴づけることを確立する。この同型は、スタックの微分可能粗モジュライ空間への自然な写像を介して得られる。スタックの微分可能粗モジュライ空間は、微分可能空間としてのスタックの幾何的実現を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we consider diffeological spaces as stacks over the site of smooth manifolds, as well as the underlying diffeological space of any stack. More precisely, we consider diffeological spaces as so-called concrete sheaves and show that the Grothendieck construction sending these sheaves to stacks has a left adjoint: the functor sending any stack to its diffeological coarse moduli space. As an application, we restrict our attention to differentiable stacks and examine the geometry behind the coarse moduli space construction in terms of Lie groupoids and their principal bundles. Additionally, we define basic differential forms for stacks and confirm in the differentiable case that these agree (under certain conditions) with basic differential forms on a representative Lie groupoid. These basic differentiable forms in turn match the diffeological forms on the orbit space.

研究の動機と目的

• 微分可能空間を滑らかな多様体のサイト上の明示的層として確立すること。
• 明示的層（微分可能空間）からスタックへのGrothendieckの構成が左随伴を持つこと、任意のスタックに対してその微分可能粗モジュライ空間を割り当てる関手が得られることを示すこと。
• 微分可能スタックとリー群ガロア群の文脈において、粗モジュライ空間の幾何を分析すること。
• スタック上の基本微分形式を定義・特徴づけ、それらを軌道空間上の形式と関連付けること。

提案手法

• 微分可能空間を滑らかな多様体のサイト上の明示的層としてモデル化すること。
• Grothendieckの構成を用いて明示的層からスタックを関連付けること。
• 各スタックに対してその微分可能粗モジュライ空間を割り当てる左随伴関手を構成すること。
• 微分可能スタックをリー群ガロア群で表現し、その主バンドルを分析すること。
• 代表的なリー群ガロア群の構造を用いてスタック上の基本微分形式を定義すること。
• 適切な条件下で、スタック上の基本微分形式が、代表的リー群ガロア群の作用の軌道空間上の微分形式の引き戻しと一致することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分可能空間は代数的幾何学および微分トポロジーにおけるスタックの明示的基礎としてどのように機能するか？
• RQ2 明示的層とスタックの文脈において、Grothendieckの構成とその左随伴の正確な関係は何か？
• RQ3 微分可能スタック上の基本微分形式は、その軌道空間上の形式とどのように関係するか？
• RQ4 スタック上の基本形式が、代表的リー群ガロア群の作用の軌道空間上の微分形式とどの程度一致するか？
• RQ5 微分可能カテゴリーにおけるスタックの粗モジュライ空間構成の背後にある幾何的構造は何か？

主な発見

• 明示的層（微分可能空間）からスタックへのGrothendieckの構成は左随伴を持ち、各スタックに対してその微分可能粗モジュライ空間を割り当てる。
• 微分可能粗モジュライ空間の構成は、多様体からの滑らかな写像を用いて、任意のスタックの明示的幾何的実現を提供する。
• 微分可能スタック上の基本微分形式は、代表的リー群ガロア群の作用の軌道空間上の微分形式の引き戻しと同値である。
• 適切な条件下で、リー群ガロア群の作用における基本微分形式の空間は、スタックの軌道空間上の微分形式の空間と完全に一致する。
• この構成により、スタックの微分幾何学とその粗モジュライ空間の微分可能構造との間の自然な対応が確立される。