[論文レビュー] Diffeomorphism groups of balls and spheres

Kathryn Mann|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、球面および球体の微分同相群の代数的・力学的構造を調査し、奇数次元球面の滑らかな微分同相群の単位成分が、任意の球体上の $C^1$ 微分同相群への非自明な準同型をもたないことを証明する。Ghys よりも一般化された結果を提示し、$S^1$ 上に滑らかに作用するが $B^2$ 上には $C^1$ 作用に拡張できない、有限生成かつねじれのない群を構成し、球面から球体への群作用の拡張に根本的な代数的障害が存在することを確立する。

ABSTRACT

In this paper we discuss the relationship between groups of diffeomorphisms of spheres and balls. We survey results of a topological nature and then address the relationship as abstract (discrete) groups. We prove that the identity component Diff_0(S^{2n-1}) of the group of smooth diffeomorphisms of S^{2n+1} admits no nontrivial homomorphisms to the group of C^1 diffeomorphisms of the ball B^m for any n and m. This result generalizes theorems of Ghys and Herman. We also examine finitely generated subgroups of Diff_0(S^n) and produce an example of a finitely generated torsion free group Gamma with an action on the circle by smooth diffeomorphisms that does not extend to a C^1 action of Gamma on the disc.

研究の動機と目的

• 微分同相群の球面および球体の間の代数的・力学的差異を理解すること。
• 有限生成群の球面上の作用が、$C^1$ 微分同相写像を介して球体への拡張可能かどうかを調査すること。
• $\operatorname{Diff}^\infty_0(S^{2n-1})$ から $\operatorname{Diff}^1_0(B^m)$ への非自明な群準同型の存在を解明すること。
• $S^1$ 上に滑らかに作用するが $B^2$ 上には $C^1$ 作用に拡張できない、明示的な例を構成すること。
• Ghys よりも一般化された、微分同相群の群論的切断の非存在に関する結果を一般化・拡張すること。

提案手法

• 奇数次元球面上の有限位数微分同相写像を用いて、拡張不可能な作用を持つ部分群を構成する。
• 表現論および行列中心化子の議論を適用し、特定の群が忠実な線形表現をもたないことを示す。
• 繰り返し $p$ 乗微分同相写像の固定点集合に対する帰納的還元を用いて矛盾を導出する。
• Franks と Handel による有限群内の歪み要素に関する結果を活用し、鍵となる例を構成する。
• 微分同相群内の正規部分群の構造を分析し、任意の準同型が自明でなければならないことを示す。
• コーン構成および同倫拡張定理を用いて、位相的拡張性と滑らかさの拡張性を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ および $m$ に対して、$\operatorname{Diff}^\infty_0(S^{2n-1})$ から $\operatorname{Diff}^1_0(B^m)$ への非自明な群準同型が存在するか。
• RQ2 $S^1$ 上に滑らかに作用する有限生成かつねじれのない群は、常に $B^2$ 上に $C^1$ 作用に拡張可能か。
• RQ3 有限位数微分同相写像が、球面から球体への群作用の拡張を妨げる役割を果たすのはどのようなものか。
• RQ4 群論的切断の非存在を防ぐ代数的障害は、制限写像 $\pi: \operatorname{Diff}^r_0(B^{n+1}) \to \operatorname{Diff}^r_0(S^n)$ の背後に存在するか。
• RQ5 滑らかさのカテゴリーにおいて、球面および球体上の微分同相群の正規部分群構造はどのように異なるか。

主な発見

• $k \geq 1$ および任意の $m$ に対して、$\operatorname{Diff}^\infty_0(S^{2k-1})$ から $\operatorname{Diff}^1_0(B^m)$ への非自明な群準同型は存在しない。これは Herman の結果を一般化する。
• 有限生成かつねじれのない群 $\Gamma$ が存在し、$S^1$ 上に滑らかに作用するが $B^2$ 上には $C^1$ 作用に拡張できない。これは $C^\infty$ 拡張とは明確に異なる対照を示す。
• $\operatorname{Diff}^\infty_0(S^{2n-1})$ は、球体上への作用を通じて誘導される $\operatorname{GL}(m,\mathbb{C})$ への非自明な線形表現をもたない。これは中心化子および正規部分群の障害によるものである。
• 特定の有限位数微分同相写像群の導来部分群における唯一の正規部分群は、生成子のべきで生成される巡回群に限られ、線形化の下で矛盾を引き起こす。
• 拡張不可能な作用の構成は、奇数次元球面上に存在する自由で有限位数の微分同相写像の存在およびその上昇性に依存する。
• 拡張の失敗は根本的に代数的であり、位相的ではない。なぜなら、位相的切断（例：コーン写像を介して）は同相写像のカテゴリーでは存在するからである。